全品學練考九年級數學蘇科版徐州專版
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10. （2024鹽城期末）如圖1-4-4，利用一面足夠長的墻，用鐵柵欄圍成一個矩形自行車場地$ABCD$，在$AB$和$BC$邊各有一個2米寬的小門（不用鐵柵欄），設矩形$ABCD$的寬$AD$為$x$米，矩形的長為$AB(AB＞AD)$．
（1）若所用鐵柵欄的長為40米，用含$x$的代數式表示$AB$的長；
（2）在（1）的條件下，若使矩形場地面積為192平方米，則$AD,AB$的長分別為多少米？
答案：（1）$AB=44 - 2x$；（2）$AD=8$米，$AB=28$米
解析：（1）因為矩形$ABCD$的寬$AD$為$x$米，所以$BC=AD=x$米，又因為在$AB$和$BC$邊各有一個2米寬的小門，所用鐵柵欄的長為40米，所以$AB + BC + AD - 2 - 2=40$，即$AB + x + x - 4=40$，所以$AB=44 - 2x$；
（2）由（1）知$AB=44 - 2x$，矩形場地面積為$AD\times AB=x(44 - 2x)=192$，即$x(44 - 2x)=192$，整理得$x^{2}-22x + 96=0$，解得$x_{1}=8$，$x_{2}=12$，因為$AB>AD$，所以$44 - 2x>x$，即$x8$（符合題意）；當$x=12$時，$AB=44 - 2\times12=20$，$20>12$（符合題意），所以$AD=8$米，$AB=28$米或$AD=12$米，$AB=20$米。
11. （2024南通模擬）某工廠使用舊設備生產，每月生產收入是90萬元，每月另需支付設備維護費5萬元，從今年1月份起使用新設備，生產收入增長且無設備維護費，使用當月生產收入達100萬元，1至3月份生產收入以相同的百分率逐月增長，累計達364萬元，3月份后，每月生產收入穩定在3月份的水平．
（1）求使用新設備后，2月、3月生產收入的月增長率；
（2）購進新設備需一次性支付640萬元，至少使用新設備幾個月后，該廠所得累計利潤不低于這幾個月使用舊設備的累計利潤？（累計利潤是指累計生產收入減去舊設備維護費或新設備購進費）
答案：（1）月增長率為$20\%$；（2）至少使用新設備12個月
解析：（1）設月增長率為$x$，$100 + 100(1 + x) + 100(1 + x)^{2}=364$，$x=0.2$或$x=-3.2$，$x=20\%$；
（2）設使用$n$個月，$364 + 100(1 + 0.2)^{2}(n - 3)-640\geq90n - 5n$，$n\geq12$。
12. 我國古代數學家趙爽在《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對一元二次方程進行求解的方法．例如：求方程$x^{2}+2x=35$正根的方法：如圖1-4-5，構造出4個長$(x + 2)$、寬為$x$的長方形，圍成一個邊長為$(x + 2 + x)$的正方形，所以$S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}=x(x + 2)$，$S_{5}=4$，得到大正方形的面積$4x(x + 2)+4=4×35 + 4=144$，故大正方形的邊長為12，所以$x=5$．
（1）請利用上面的方法畫出圖形，求出方程$x^{2}+4x - 15=0$的正根，并寫出分析過程；
（2）你能否用幾何法求方程$m^{2}-2m - 5=0$的正根？如果可以，請直接畫出圖形，標注相關信息．
答案：（1）正根為$3$；（2）可以，圖形見解析
解析：（1）方程$x^{2}+4x - 15=0$可化為$x^{2}+4x=15$，構造4個長$(x + 2)$、寬為$x$的長方形，圍成一個邊長為$(x + 2 + x)=2x + 2$的正方形，所以$S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}=x(x + 2)$，$S_{5}=4$，大正方形的面積為$4x(x + 2)+4=4\times15 + 4=64$，故大正方形的邊長為8，所以$2x + 2=8$，解得$x=3$；
（2）可以，方程$m^{2}-2m - 5=0$可化為$m^{2}-2m=5$，構造1個邊長為$m$的正方形，減去2個長$m$、寬1的長方形，加上1個邊長為1的正方形，得到一個邊長為$(m - 1)$的正方形，面積為$m^{2}-2m + 1=5 + 1=6$，故正方形的邊長為$\sqrt{6}$，所以$m - 1=\sqrt{6}$，$m=1 + \sqrt{6}$。
