全品學練考九年級數學蘇科版徐州專版
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1. （2024徐州月考）一元二次方程$4x^{2}-2x+\frac {1}{4}=0$的根的情況是（ ）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 沒有實數根
D. 無法判斷
答案：1. 首先明確一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的判別式公式：
對于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判別式$\Delta=b^{2}-4ac$。當$\Delta\gt0$時，方程有兩個不相等的實數根；當$\Delta = 0$時，方程有兩個相等的實數根；當$\Delta\lt0$時，方程沒有實數根。
2. 然后確定方程$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$中$a$，$b$，$c$的值：
在方程$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$中，$a = 4$，$b=-2$，$c=\frac{1}{4}$。
3. 最后計算判別式$\Delta$的值：
根據$\Delta=b^{2}-4ac$，將$a = 4$，$b=-2$，$c=\frac{1}{4}$代入可得：
$\Delta=(-2)^{2}-4×4×\frac{1}{4}$。
先計算乘方和乘法：$(-2)^{2}=4$，$4×4×\frac{1}{4}=4$。
再計算減法：$\Delta=4 - 4$。
所以$\Delta=0$。
所以一元二次方程$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$有兩個相等的實數根，答案是B。
2. （2024南京模擬）已知$a,b,c$為常數，點$P(a,c)$在第四象限，則關于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0$的根的情況是（
A
）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 沒有實數根
D. 無法判斷
答案：A
解析：點$P(a,c)$在第四象限，$a＞0$，$c＜0$，$\Delta =b^{2}-4ac$，$ac＜0$，$-4ac＞0$，$\Delta =b^{2}-4ac＞0$，方程有兩個不相等的實數根，選A。
3. （2024鹽城期中）對于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$，有下列說法：
①若$a+b+c=0$，則$b^{2}-4ac\geq0$；
②若方程$ax^{2}+c=0$有兩個不相等的實數根，則方程$ax^{2}+bx+c=0$必有兩個不相等的實數根；
③若$c$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一個根，則一定有$ac+b+1=0$成立．
其中正確的是（
A
）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
答案：A
解析：①$a+b+c=0$，$x=1$是方程的根，$\Delta\geq0$，正確；②方程$ax^{2}+c=0$有兩個不相等的實數根，$-\frac{c}{a}＞0$，$\Delta =b^{2}-4ac\geq b^{2}＞0$，方程$ax^{2}+bx+c=0$必有兩個不相等的實數根，正確；③$c$是方程的根，$ac^{2}+bc+c=0$，$c(ac + b + 1)=0$，$c=0$或$ac + b + 1=0$，錯誤，選A。
4. （2024寧波模擬）已知關于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x+a=0$，從1，2，3三個數中，選擇一個合適的數作為$a$的值，要使這個方程有實數根，并解此方程．
答案：當$a=1$時，方程的根為$x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；當$a=2$時，方程的根為$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
解析：$\Delta =9 - 4a\geq0$，$a\leq\frac{9}{4}$，$a=1$或$2$。
當$a=1$時，方程為$x^{2}-3x + 1=0$，$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$；
當$a=2$時，方程為$x^{2}-3x + 2=0$，$(x - 1)(x - 2)=0$，$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
5. 已知關于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + 1=0(a≠0)$．
（1）當$b=a + 2$時，判斷方程根的情況；
（2）若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的$a,b$的值，并求此時方程的根．
答案：（1）方程有兩個不相等的實數根；（2）$a=1$，$b=2$，方程的根為$x_{1}=x_{2}=-1$
解析：（1）$b=a + 2$，$\Delta =b^{2}-4a=(a + 2)^{2}-4a=a^{2}+4＞0$，方程有兩個不相等的實數根；
（2）$\Delta =b^{2}-4a=0$，取$a=1$，$b=2$，方程為$x^{2}+2x + 1=0$，$(x + 1)^{2}=0$，$x_{1}=x_{2}=-1$。
6. （2024南京模擬）若關于$x$的方程$a(x + 1)^{2}-b=0(a≠0)$有兩個不相等的實數根，則（
C
）
A. $a - b＞0$
B. $a - b＜0$
C. $ab＞0$
D. $ab＜0$
答案：C
解析：方程化為$ax^{2}+2ax + a - b=0$，$\Delta =4a^{2}-4a(a - b)=4ab＞0$，$ab＞0$，選C。
7. （2024常州模擬）若一元二次方程$x^{2}+2x + m=0$有實數解，則$m$的取值范圍是（
B
）
A. $m\leq - 1$
B. $m\leq1$
C. $m\leq2$
D. $m\leq\frac{1}{2}$
答案：B
解析：$\Delta =4 - 4m\geq0$，$m\leq1$，選B。
8. 若關于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + a = 0$有兩個不相等的實數根，請寫出一個符合條件的實數$a$的值：____.
答案：0
9. 已知關于$x$的一元二次方程$kx^{2}-(2k - 1)x + k - 2=0$有兩個不相等的實數根，則實數$k$的取值范圍是
$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
。
答案：$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
解析：$k≠0$，$\Delta=(2k - 1)^{2}-4k(k - 2)=4k + 1＞0$，$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$。
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