全品學練考九年級數學蘇科版徐州專版
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專題訓練（一） 一元二次方程的解法歸納
解法一 直接開平方法
方法點睛：將一元二次方程變形為$(ax + b)^{2}=c(a\neq0,c\geq0)$的形式后，用直接開平方法解較簡便.
1. 解下列方程：
(1)$2x^{2}=1$;
答案：$x_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析：方程$2x^{2}=1$，變形為$x^{2}=\frac{1}{2}$，開平方得$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)$(x - 2)^{2}-3=0$;
答案：$x_{1}=2+\sqrt{3}$，$x_{2}=2-\sqrt{3}$
解析：方程$(x - 2)^{2}-3=0$，變形為$(x - 2)^{2}=3$，開平方得$x - 2=\pm\sqrt{3}$，解得$x=2\pm\sqrt{3}$。
(3)$9(x + 1)^{2}-4=0$;
答案：$x_{1}=-\frac{1}{3}$，$x_{2}=-\frac{5}{3}$
解析：方程$9(x + 1)^{2}-4=0$，變形為$(x + 1)^{2}=\frac{4}{9}$，開平方得$x + 1=\pm\frac{2}{3}$，解得$x=-\frac{1}{3}$或$x=-\frac{5}{3}$。
(4)$\frac{1}{2}(3y - 1)^{2}-8=0$;
答案：$y_{1}=\frac{5}{3}$，$y_{2}=-1$
解析：方程$\frac{1}{2}(3y - 1)^{2}-8=0$，變形為$(3y - 1)^{2}=16$，開平方得$3y - 1=\pm4$，解得$y=\frac{5}{3}$或$y=-1$。
(5)$(2x + 3)^{2}=(3x + 2)^{2}$;
答案：$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$
解析：方程$(2x + 3)^{2}=(3x + 2)^{2}$，移項得$(2x + 3)^{2}-(3x + 2)^{2}=0$，因式分解為$(2x + 3 - 3x - 2)(2x + 3 + 3x + 2)=0$，即$(-x + 1)(5x + 5)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。
解法二 因式分解法
方法點睛：一邊化為0后，另一邊能分解因式的一元二次方程用因式分解法解較簡便.
2. 解方程$x^{2}-\sqrt{2}x=0$，較簡便的解法是（
B
）
A. 直接開平方法
B. 因式分解法
C. 公式法
D. 配方法
答案：B
解析：方程$x^{2}-\sqrt{2}x=0$，可因式分解為$x(x - \sqrt{2})=0$，用因式分解法較簡便，故選B。
3. 已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程$x^{2}-3x=4(x - 3)$的兩個實數根，則該直角三角形斜邊上的中線長是（
D
）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 2.5
答案：D
解析：方程$x^{2}-3x=4(x - 3)$，變形為$x^{2}-7x + 12=0$，因式分解為$(x - 3)(x - 4)=0$，解得直角邊為$3$和$4$，斜邊為$5$，斜邊上的中線長為$\frac{5}{2}=2.5$，故選D。
4. 一元二次方程$x(x - 2)=x - 2$的根是
$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
.
答案：$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
解析：方程$x(x - 2)=x - 2$，移項得$x(x - 2)-(x - 2)=0$，因式分解為$(x - 2)(x - 1)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=1$。
5. 解下列方程：
(1)$x(x - 1)+x - 1=0$;
答案：$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$
解析：方程$x(x - 1)+x - 1=0$，因式分解為$(x - 1)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。
(2)$4(x - 3)^{2}-25(x - 2)^{2}=0$;
答案：$x_{1}=\frac{16}{7}$，$x_{2}=\frac{4}{3}$
解析：方程$4(x - 3)^{2}-25(x - 2)^{2}=0$，變形為$[2(x - 3)]^{2}-[5(x - 2)]^{2}=0$，因式分解為$[2(x - 3)-5(x - 2)][2(x - 3)+5(x - 2)]=0$，即$(-3x + 4)(7x - 16)=0$，解得$x_{1}=\frac{4}{3}$，$x_{2}=\frac{16}{7}$。
(3)$(2x + 1)^{2}+4(2x + 1)+4=0$;
答案：$x_{1}=x_{2}=-\frac{3}{2}$
解析：方程$(2x + 1)^{2}+4(2x + 1)+4=0$，變形為$(2x + 1 + 2)^{2}=0$，即$(2x + 3)^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=-\frac{3}{2}$。
(4)$(x - 2)(x - 3)=6$.
答案：$x_{1}=0$，$x_{2}=5$
解析：方程$(x - 2)(x - 3)=6$，展開得$x^{2}-5x + 6=6$，移項得$x^{2}-5x=0$，因式分解為$x(x - 5)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=5$。
