Question

【題目】已知：如圖，在中，，，．是邊的中點，點為邊上的一個動點（與點、不重合），過點作，交邊于點．聯結、，設．

（1）當時，求的面積；

（2）如果點關于的對稱點為，點恰好落在邊上時，求的值；

（3）以點為圓心，長為半徑的圓與以點為圓心，長為半徑的圓相交，另一個交點恰好落在線段上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據題意過E作EM⊥AB于M，根據勾股定理和三角函數定義以及由平行線分線段成比例定理可得EF的長，根據三角形面積公式即可得出結論；

（2）根據題意過E作EN⊥AB于N，連接DD'，交EF于Q，由對稱進行分析并根據三角函數計算以及證明四邊形ENDQ是矩形，進而得出則，最后利用三角函數即可得出結論；

（3）根據題意設與相交于點，并計算AF的長，根據平行線分線段成比例定理可得AG的長，證明，得，列方程解出即可．

解：（1）過點作，垂足為點．

在中，，，，

∴，．

∵，，

∴．

在中，，，，

∴．

∵，

∴．

又∵，

∴．

∴．

（2）過點作，垂足為點，設與相交于點．

∵、關于對稱，

∴，．

∴．

∵，

∴．

在中，，，，

∴．

∴．

∵，，，

∴∠END=∠NDQ=∠EQD=90°，

∴四邊形ENDQ是矩形，

∴．

在中，，，，，

∴．

（3）設與相交于點，如下圖，

在中，，，，

∴，．

∴．

∵，

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵圓和圓相交，

∴．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∴．

解得（舍去），．