Question

【題目】在和中，，且，點在的內部，連接，，和，并且．

（觀察猜想）

（1）如圖①，當時，線段與的數量關系為_____，線段的數量關系為_______________；

（探究證明）

（2）如圖②，當時，（1）中的結論是否依然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

（拓展應用）

（3）在（2）的條件下，當點在線段上時，若，請直接寫出的面積．

Answer 1

【答案】（1），；（2）結論不成立，，見解析；（3）2

【解析】

（1）猜想，．觀察可得和分別在和中，根據已知條件和角的和差關系可證明，即可得到；將線段通過相等的線段轉化到中，再通過等角的代換證得是直角三角形，進而通過勾股定理證得線段，，之間的數量關系；（2）觀察可得和分別在和中，根據已知條件和角的和差關系可證明，進而得到和之間的數量關系；同（1）即可證得線段之間的數量關系；（3）畫出圖形，利用（2）中的結論和已知條件即可求解．

解：（1）；；

[解法提示]∵，，

∴，都是等邊三角形，∴，

∴，

∵，，∴，

∴，，

∴，

即，∴，

∵是等邊三角形，∴，

∴，

即；

（2）（1）中的結論不成立，正確的結論為：，；

理由如下：∵，

∴，，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

即，則；

（3）2

[解法提示]如圖，∵，∴，

∴，

∵點在一條直線上，

∴，

∵，∴，

∴，設，則，

在中，，，

即，

解得或（舍去），

則．