Question

【題目】在中，，點P是平面內不與點A，C重合的任意一點，連接，將線段繞點P旋轉得到線段，連結．

（1）觀察猜想：如圖1，當時，線段繞點P順時針旋轉得到線段，則的值是________，直線與相交所成的較小角的度數是________；

（2）類比探究：如圖2，當時，線段繞點P順時針旋轉得到線段．請直接寫出與相交所成的較小角的度數，并說明與相似，求出的值；

（3）拓展延伸：當時，且點P到點C的距離為，線段繞點P逆時針旋轉得到線段，若點A，C，P在一條直線上時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）1，60°；（2），直線AP與相交所成的較小角的度數是45°；（3）的值為或．

【解析】

解：（1）如圖1中，延長交的延長線于K，設交于J．

∵，

∴都是等邊三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，直線與相交所成的較小角的度數是60°，

故答案為1，60°．

（2）如圖2中，設交于O．

∵，

∴都是等腰直角三角形，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，直線AP與相交所成的較小角的度數是45°．

（3）如圖3-1中，當點P在的延長線上時，設，則，

∵，

∴，

在中，∵，

∴，

∴．

如圖3-2中，當點P落在上時，設，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

綜上所述， 的值為或．