Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知點A，對點A作如下變換：

第一步：作點A關于x軸的對稱點A1；第二步：以O為位似中心，作線段OA1的位似圖形OA2，且相似比=q，則稱A2是點A的對稱位似點．

(1)若A(2，3)，q=2，直接寫出點A的對稱位似點的坐標；

(2)已知直線l：y=kx-2，拋物線C：y=-x2+mx-2(m＞0)．點N(，2k-2)在直線l上．

①當k=時，判斷E(1，-1)是否是點N的對稱位似點，請說明理由；

②若直線l與拋物線C交于點M(x1，y1)(x1≠0)，且點M不是拋物線的頂點，則點M的對稱位似點是否可能仍在拋物線C上？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）、;（2）①E(1，-1)不是N(2,-1)的對稱位似點;②.理由見解析.

【解析】

（1）由對稱位似點的定義可求出點A的對稱位似點的坐標；

（2）①先求出N點坐標為（2，1），關于x軸的對稱點坐標為（2，1），由E（1，1），

，故不存在q，使得E（1，1）是點N的對稱位似點，可知E（1，1）不是點N的對稱位似點；

②把N點坐標代入y＝kx2，可得m＝2k或m＝k，當直線與二次函數圖象相交時求得M（4k，4k22），關于軸的對稱點，求出直線的解析式，聯立方程組，當△≥0時，求得時，點M的對稱位似點仍在拋物線C上．

解：（1）∵A（2，3），

∴A關于x軸的對稱點A1為（2，3）），

∵以O為位似中心，作線段OA1的位似圖形OA2，且相似比為2，

∴A2的坐標為（4，6）或（-4，6），

∴A的對稱位似點的坐標為（4，6）或（4，6）．

、

（2）①當時，，將代入得：

的坐標為，其關于軸的對稱點坐標是

對于，

，所構成的直角邊不成比例，

不是的對稱位似點

②直線：過點

，整理得：

或

直線與拋物線相交于點:

,,

拋物線對稱軸：，且點不是拋物線的頂點

，

只有成立. 此時， 的坐標：

于是，關于軸的對稱點，

直線的解析式:

若直線與拋物線有相交，

整理得：

當，時，交點存在，不妨設為，，

則是點的對稱位似點

,且,

,

.