Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線11：y＝k1x+3分別與x軸，y軸交于A（﹣3，0），B兩點，與直線l2：y＝k2x交于點C，S△AOC＝9．

（1）求tan∠BAO的值；

（2）求出直線l2的解析式；

（3）P為線段AC上一點（不含端點），連接OP，一動點H從點O出發，沿線段OP以每秒1個單位長度的速度運動到P，再沿線段PC以每秒個單位長度的速度運動到點C后停止，請直接寫出點H在整個運動過程的最少用時．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）y＝2x；（3）6秒．

【解析】

（1）先求直線l1的解析式，從而可以求點B，點A的坐標，求出OA和OB即可求得tan∠BAO＝；

（2）由S△AOC＝9，OA＝3即可求點C的縱坐標，點C是直線l1與直線l2的交點，即可求出直線l2的解析式；

（3）過點C作CJ⊥y軸于J，過點P作PQ⊥CJ于點Q，由題意得，點H在整個運動過程的用時t＝＝OP＋QP，即點H在整個運動過程所用的時間是線段PO與PH的長度之和，也就是點O、P、Q共線時有最小值．

（1）∵直線11：y＝k1x+3經過點A（﹣3，0），

∴0＝﹣3k1+3，即k1＝1且OA＝3

故直線11的解析式為：y＝x+3

∴直線l1：y＝x+3與y軸交點是B（0，3）即OB＝3

故tan∠BAO＝．

（2）∵S△AOC＝9，OA＝3

∴點C到OA也就是到x軸的距離是6，由圖可設C（x，6）

∵C（x，6）是直線l1：y＝x+3與直線l2：y＝k2x的交點

∴，解得

故直線l2的解析式是：y＝2x．

（3）如圖，過點C作CJ⊥y軸于J，過點P作PQ⊥CJ于點Q，

∵動點H從點O出發，沿線段OP以每秒1個單位長度的速度運動到P，遭到沿線段PC以每秒個單位長度的速度運動到點C后停止

∴點H在整個運動過程的用時，

∵tan∠BAO＝知∠BAO＝45°

故∠CPQ＝∠ABO＝45°

∴PQ＝PCcos∠CPQ＝＝

∴即點H在整個運動過程所用的時間是線段PO與PH的長度之和

∴當點P與點B重合，也就是點O、P、Q共線時，OP+QP取得最小值，且（OP+QP）最小＝OJ＝6，

即點H在整個運動過程所用時間的最小值為6秒．