Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知：函數．

（1）當時，

①求隨增大而增大時，的取值范圍；

②當時，求的取值范圍；

③當時，設的最大值與最小值之差為，當時，求的值．

（2）若，連結.當此函數的圖象與線段只有兩個公共點時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①或；②；③或；（2）或或．

【解析】

（1）①利用函數圖像，直接作答即可；

②觀察函數圖像直接作答即可；

③分、、、四種情況分類討論即可；

（2）利用兩個函數的對稱軸都是直線，分類討論所處的位置，即可得出答案．

（1）①或.

當時，函數變為 ，

函數圖像如圖所示：

函數的對稱軸是直線，

所以通過觀察圖像可以得到當隨增大而增大時，的取值范圍是：或；

②；

通過觀察圖像可以得到：當時，；

③當，即時，

，

當時，由圖象可知

當時，

由，

得，

當時，

舍去.

綜上所述:或；

或或，

∵

∴的對稱軸為直線：，

的對稱軸為直線：，

①由（1）可知：當時，函數與AB有兩個交點，一個為（0,2），一個為（），滿足條件；

②當時，函數變為：，此時只有一個交點，不合題意；

③當時，函數變為：，此時只有一個交點，不合題意；

④當時，此時的頂點坐標為，

∵，

∴與AB無交點；

對于函數一直小于0，因此與AB無交點；

⑤當時，

對于函數來說，當時，有最小值此時，因此函數與AB最多有一個交點，

對于函數，當時，有最大值，為，與AB無交點；

⑥當時，

對于函數來說，，因此與AB必有一個交點，

只須保證：與AB有一個交點即可，

當時，當時，有最大值為，根據對稱性可知：此時與AB有兩個交點，

∴當時，有三個交點，不合題意；

當時，

函數變為：，此時與AB共有兩個交點；

當時：與AB有一個交點，

∴此時函數與AB有兩個交點；

⑦當時，

對于函數：，與AB無交點，

當函數過時，

得：，解得：，

∵，

∴，此時與AB有兩個交點，

∴當時，與AB有兩個交點；

綜上所述：當或或時，與AB只有兩個交點．