Question

【題目】如圖所示，△ABC內接于⊙O，AC是直徑，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延長線上，且AE＝EF．連接AF

（1）求證：AF是⊙O的切線；

（2）連接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AG＝4.

【解析】

（1）由角平分線的性質和平行線的性質可得AE=CE=EF，可得∠CAF=90°，即可證AF是⊙O的切線；

（2）連接AD，由“AAS”可證△ABC≌△ADC，可得AB=AD=12，BC=CD，由勾股定理可求DE=5，由平行線分線段成比例可求GE=9，即可求AG的長．

解：證明：（1）∵AC平分∠BCD

∴∠ACB＝∠ACD，

∵AE∥BC

∴∠ACB＝∠CAE＝∠ACD

∴AE＝CE，且AE＝EF

∴AE＝CE＝EF

∴△CAF是直角三角形

∴∠CAF＝90°

∴AF是⊙O的切線

（2）連接AD，

∵AC是直徑

∴∠ABC＝90°＝∠ADC

∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90°

∴△ABC≌△ADC（AAS）

∴AB＝AD＝12，BC＝CD

在Rt△AED中，DE＝

∵AE＝CE＝EF＝13

∴CF＝2EF，CD＝BC＝CE+DE＝18，

∵AE∥BC

∴

∴EG＝9

∴AG＝AE﹣EG＝13﹣9＝4