Question

【題目】定義：如果三角形的兩個內角與滿足，那么稱這樣的三角形為“類直角三角形”．

嘗試運用

（1）如圖1，在中，，，，是的平分線．

①證明是“類直角三角形”；

②試問在邊上是否存在點（異于點），使得也是“類直角三角形”？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．

類比拓展

（2）如圖2，內接于，直徑，弦，點是弧上一動點（包括端點，），延長至點，連結，且，當是“類直角三角形”時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析，②存在，；（2）或．

【解析】

（1）①證明∠A+2∠ABD=90°即可解決問題．
②如圖1中，假設在AC邊設上存在點E（異于點D），使得△ABE是“類直角三角形”．證明△ABC∽△BEC，可得，由此構建方程即可解決問題．
（2）分兩種情形：①如圖2中，當∠ABC+2∠C=90°時，作點D關于直線AB的對稱點F，連接FA，FB．則點F在⊙O上，且∠DBF=∠DOA．
②如圖3中，由①可知，點C，A，F共線，當點E與D共線時，由對稱性可知，BA平分∠FBC，可證∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性質構建方程即可解決問題．

（1）①證明：如圖1中，

∵是的角平分線，

∴，

∵，∴，

∴，

∴為“類直角三角形”．

②如圖1中，假設在邊設上存在點（異于點），使得是“類直角三角形”．在

中，∵，，

∴，

∵，

∴，

∵

∴，∴，

∴，

∴，

（2）∵是直徑，∴，∵，，∴，

①如圖2中，當時，作點關于直線的對稱點，連接，．則點在上，且，

∵，且，∴，∴，，共線，

∵∴，∴，∴，即

∴．

②如圖3中，由①可知，點，，共線，當點與共線時，由對稱性可知，平分，

∴，∵，，∴，

∴，即，∴，且中

解得

綜上所述，當是“類直角三角形”時，的長為或．