Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊BC上，若∠AEF=900，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F

（1）圖1中若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，我們可以構(gòu)造兩個(gè)三角形全等來證明AE=EF，請(qǐng)敘述你的一個(gè)構(gòu)造方案，并指出是哪兩個(gè)三角形全等（不要求證明）；

（2）如圖2，若點(diǎn)E在線段BC上滑動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合）．

①AE=EF是否總成立？請(qǐng)給出證明；

②在如圖2的直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)E滑動(dòng)到某處時(shí)，點(diǎn)F恰好落在拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）△AGE與△ECF（2）①成立②

【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)G，連接EG，利用ASA能得到△AGE與△ECF全等．

（2）①在AB上截取AG=EC，由ASA證得△AGE≌△ECF即可證得AE=EF．

②過點(diǎn)F作FH⊥x軸于H，根據(jù)FH=BE=CH設(shè)BH=a，則FH=a－1，然后表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F恰好落在拋物線上得到有關(guān)a的方程求得a值即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解：（1）如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接EG，則△AGE與△ECF全等．

（2）①若點(diǎn)E在線段BC上滑動(dòng)時(shí)AE=EF總成立．證明如下：如圖，

在AB上截取AG=EC，

∵AB=BC，

∴BG=BE．

∴△GBE是等腰直角三角形．

∴∠AGE=180°－45°=135°．

又∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°．

∴∠AGE=∠ECF．

又∵∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF．

∴△AGE≌△ECF（ASA）．

∴AE=EF．

②過點(diǎn)F作FH⊥x軸于H，

由①知，FH=BE=CH，設(shè)BH=a，則FH=a－1．

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（a，a－1）．

∵點(diǎn)F恰好落在拋物線上，

∴．

∴a2=2．∴（負(fù)值不合題意，舍去）．

∴．∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為．