Question

【題目】如圖所示，在正方形ABCD中，AD＝6，M在AD上從A向D運動，連接BM交AC于N，連接DN．

（1）證明：無論M運動到AD上的何處，都有△ABN≌△ADN；

（2）當M運動到何處時，S△ABN＝S正方形ABCD？

（3）若M從A到D，再從D到C，在整個運動過程中，DM為多少時，△ABN是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AM＝2時；（3）當DM＝0或6或12﹣6時，△ABN是等腰三角形

【解析】

（1）由正方形的性質得出AB＝AD＝BC＝6，∠BAN＝∠DAN，AD∥BC，由SAS證明△ABN≌△ADN即可；

（2）由正方形的性質得出，得出，由平行線得出△AMN∽△CBN，得出，求出；

（3）分三種情況：①若AN＝BN，此時M與D重合，DM＝0；

②若AB＝BN，此時M與重合，DM＝6；

③若AB＝AN，此時點M在DC上，由平行線得出△ABN∽△CMN，得出CM＝CN，求出，即可得出．

（1）證明：∵四邊形ABD是正方形

∴AB＝AD＝BC＝6，∠BAN＝∠DAN，AD∥BC

在△ABN和△ADN中，

；

（2）

，即

，即

∵AM∥BC

∴△AMN∽△CBN

即當AM＝2時，；

（3）若△ABN是等腰三角形，分三種情況：

①若AN＝BN，此時M與D重合，DM＝0

②若AB＝BN，此時M與重合，DM＝6

③若AB＝AN，此時點M在DC上，如圖所示：

∵AB∥CM

∴△ABN∽△CMN

∴

∴CM＝CN

綜上，當DM＝0或6或時，△ABN是等腰三角形．