Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點．拋物線分別交軸于、兩點，交軸于點，．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）如圖2，點為第二象限拋物線上一點，過點作于點，設點的橫坐標為，線段的長度為，求與的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，當直線經過點時，如圖3，點在線段上，點在線段上，且，的面積為，求的長．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）利用OA=OC，待定系數法求解二次函數解析式．

（2）過P作軸的垂線，用銳角三角函數建立PD與PM之間的聯系，用二次函數與一次函數求解PM的長度，從而得到答案．

（3）延長DF交AB于N，過F，D作好AB的垂線，利用面積與相似三角形求解FN,，DN的數量關系，再利用，找到，利用相似三角形性質表示AN的長，最后化歸到直角三角形DNQ中，利用勾股定理得到答案．

解：（1）因為：，

所以點C，所以，

又因為

所以，把代入解析式得：

，即

解得：（舍去），所以，

所以拋物線為

（2）如圖，過P作軸與N，交AC于M，又，

所以．

因為，所以，

因為，所以

所以

由（1）得，所以 直線AC為，

因為，軸，

所以

所以

所以

（3）如圖，延長DF交AB于N，過F，D分別作，垂足分別為H，Q，因為拋物線為，所以B（1，0），A（-3，0）

所以AB=4，因為的面積為，

所以 ，所以，

因為A（-3，0），C（0，-3），

所以

因為

所以

所以

設，則

因為，，

所以

所以，

又因為

所以

所以 所以，

所以

在直角三角形DNQ中，

所以

解得： ，（負根舍去）

所以