Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，交于點，連接．

（1）如圖1，點是上一點，連接，若，，，求的長；

（2）如圖2，若，延長交延長線于點，以為斜邊做等腰直角，連接，求證：．

Answer 1

【答案】（1）EF＝﹣4；（2）見詳解

【解析】

（1）先利用勾股定理得出CE＝，然后在Rt△BCE中，依據勾股定理可得，進而得出EF＝﹣4；

（2）過C作CM⊥CG，交GH的延長線于M，連接EM，判定△BCG≌△ECM（SAS），即可得出∠CEM＝∠CBG＝45°，再根據H是MG的中點，即可得到Rt△MEG中，EH＝MG＝HG．

解：（1）∵平行四邊形ABCD中，CE⊥BC，

∴CE⊥AD，

又∵∠ECD＝30°，

∴Rt△CDE中，DE＝CD＝1，

∴

又∵在Rt△BCE中，BC＝4，

∴，

∴EF＝BE﹣BF＝﹣4；

（2）如圖2所示，過C作CM⊥CG，交GH的延長線于M，連接EM，

∵△CGH是等腰直角三角形，∠MCG＝90°，

∴∠CGH＝∠CMG＝45°，

∴CG＝CM，

∵∠BCE＝90°，∠MCG＝90°，

∴∠BCG＝∠ECM，

又∵BC＝EC，

∴△BCG≌△ECM（SAS），

∴∠CEM＝∠CBG＝45°，

又∵∠BEC＝45°，

∴∠MEG＝90°，

又∵CM＝CG，CH平分∠MCG，

∴H是MG的中點，

∴Rt△MEG中，EH＝MG＝HG．