Question

【題目】如圖，有一時鐘，時針OA長為6cm，分針OB長為8cm，△OAB隨著時間的變化不停地改變形狀．求：

（1）如圖①，13點時，△OAB的面積是多少？

（2）如圖②，14點時，△OAB的面積比13點時增大了還是減少了？為什么？

（3）問多少整點時，△OAB的面積最大？最大面積是多少？請說明理由．

（4）設∠BOA＝α（0°≤α≤180°），試歸納α變化時△OAB的面積有何變化規律（不證明）

Answer 1

【答案】（1）12cm2；（2）14點時比13點時△OAB的面積增大了，見解析；（3）3點時（即15時）或9點時（即21時）時△OAB的面積最大，24 cm2，見解析；（4）當α＝0°、180°時不構成三角形；當0°＜α≤90°時，S△OAB的值隨α增大而增大；當90°＜α＜180°時，S△OAB的值隨α增大而減小

【解析】

（1）如圖①，過點B作BE⊥OA于點E．在13點時，∠BOA＝30°，根據三角形的面積公式即可得到結論；

（2）如圖②，過點B作BE⊥OA于點E．在14點時，∠BOA＝60°，＝sin60°，BE＝8×＝4（cm），根據三角形的面積公式即可得到結論；

（3）3點時（即15時）或9點時（即21時）時△OAB的面積最大，如圖③④．根據三角形的面積公式即可得到結論；

（4）當α＝0°、180°時不構成三角形；當0°＜α≤90°時，S△OAB的值隨α增大而增大；當90°＜α＜180°時，S△OAB的值隨α增大而減小．

解：（1）如圖①，過點B作BE⊥OA于點E．

在13點時，∠BOA＝30°，

∴BE＝OB＝4（cm），

∴S△OAB＝OABE＝×6×4＝12（cm2）；

（2）如圖②，過點B作BE⊥OA于點E．

在14點時，∠BOA＝60°，＝sin60°，BE＝8×＝4（cm），

∴S△OAB＝×4×6＝12（cm2）．

∵12＞12，

∴14點時比13點時△OAB的面積增大了；（3）3點時（即15時）或9點時（即21時）時△OAB的面積最大，如圖③④．

∵此時BE最長，BE＝OB＝8 cm，而OA不變，

∴S＝OAOB＝×6×8＝24（cm2）；

（4）當α＝0°、180°時不構成三角形；

①當0°＜α≤90°時，α越大，OA不變，OA邊上的高越來越大，

∴S△OAB的值隨α增大而增大；

②當90°＜α＜180°時，OA不變，但OA邊上的高越來越小，

∴S△OAB的值隨α增大而減小．

綜上所述，當0°＜α≤90°時，S△OAB的值隨α增大而增大；當90°＜α＜180°時，S△OAB的值隨α增大而減小．