Question

【題目】某村啟動“脫貧攻堅”項目，根據當地的地理條件，要在一座高為1000m的上種植一種經濟作物．農業技術人員在種植前進行了主要相關因素的調查統計，結果如下：

①這座山的山腳下溫度約為22°C，山高h（單位：m）每增加100m，溫度T（單位：°C）下降約0.5°C；

②該作物的種植成活率p受溫度T影響，且在19°C時達到最大．大致如表：

溫度T°C	21	20.5	20	19.5	19	18.5	18	17.5
種植成活率p	90%	92%	94%	96%	98%	96%	94%	92%

③該作物在這座山上的種植量w受山高h影響，大致如圖1：

（1）求T關于h的函數解析式，并求T的最小值；

（2）若要求該作物種植成活率p不低于92%，根據上述統計結果，山高h為多少米時該作物的成活量最大？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）T＝－h＋22（0≤h≤1000），當h＝1000m時，T有最小值17°C；（2）山高h為300米時該作物的成活量最大．理由見解析．

【解析】

（1）根據“這座山的山腳下溫度約為22°C，山高h（單位：m）每增加100m，溫度T（單位：°C）下降約0.5°C”，可以得出T關于h的函數解析式，根據T隨h的增大而減小求T的最小值；

（2）成活率p與溫度T之間的關系大致符合一次函數關系，先求出一次函數關系式；由圖知，除點E外，其余點大致在一條直線上，然后求出一次函數關系式，最后求出成活量與h的函數關系式，從而確定山高h為300米時該作物的成活量最大．

解：（1）由題意得T＝22－×0.5，

即T＝－h＋22（0≤h≤1000）.

∵－＜0，

∴T隨h的增大而減小.

∴當h＝1000m時，T有最小值17°C.

（2）根據表一的數據可知，當19≤T≤21時，成活率p與溫度T之間的關系大致符合一次函數關系，不妨設p1＝k1T＋b1；

當17.5≤T＜19時，成活率p與溫度T之間的關系大致符合一次函數關系，不妨設p2＝k2T＋b2.

∵當T＝21時，p1＝0.9；當T＝20時，p1＝0.94，

解得：，

∴ p1＝－T＋（19≤T≤21）.

∵當T＝19時，p2＝0.98；當T＝18時，p2＝0.94，

解得，

∴p2＝T＋（17.5≤T＜19）.

由圖知，除點E外，其余點大致在一條直線上，

因此，當0≤h≤1000時，可估計種植量w與山高h之間的關系大致符合一次函數關系，不妨設w＝k3h＋b3.

∵當h＝200時，w＝1600；當h＝300時，w＝1400，

解得，

∴w＝－2h＋2000（0≤h≤1000）.

考慮到成活率p不低于92%，

則17.5≤T≤20.5

由T＝－h＋22，可知T為17.5°C，19°C，20.5°C時，h分別為900m，600m，300m.

由一次函數增減性可知：

當300≤h≤600時，p1＝－T＋＝－（－h＋22）＋＝h＋.

當600＜h≤900時，p2＝T＋＝（－h＋22）＋＝－h＋.

∴當300≤h≤600時，

成活量＝w·p1＝（－2h＋2000）·（h＋）.

∵－＜0，對稱軸在y軸左側，

∴當300≤h≤600時，成活量隨h的增大而減小.

∴當h＝300時，成活量最大.

根據統計結果中的數據，可知h＝300時成活率為92%，種植量為1400株，

∴此時最大成活量為1400×92%＝1288（株）.

當600＜h≤900時，

成活量＝w·p2＝（－2h＋2000）·（－h＋）.

∵＞0，對稱軸在h＝900的右側，

∴當600＜h≤900時，成活量隨h的增大而減小.

且當h＝600時，w·p1＝w·p2

綜上，可知當h＝300時，成活量最大.

∴山高h為300米時該作物的成活量最大．