Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為（4，2），直線y=﹣x+與邊AB，BC分別相交于點M，N，函數y=（x＞0）的圖象過點M．

（1）試說明點N也在函數y=（x＞0）的圖象上；

（2）將直線MN沿y軸的負方向平移得到直線M′N′，當直線M′N′與函數y═（x＞0）的圖象僅有一個交點時，求直線M'N′的解析式．

Answer 1

【答案】（1）說明見解析；（2）直線M'N′的解析式為y=﹣x+2．

【解析】（1）根據矩形OABC的頂點B的坐標為（4，2），可得點M的橫坐標為4，點N的縱坐標為2，把x=4代入y=﹣x+，得y=，可求點M的坐標為（4，），把y=2代入y=﹣x+，得x=1，可求點N的坐標為（1，2），由函數y=（x＞0）的圖象過點M，根據待定系數法可求出函數y=（x＞0）的解析式，把N（1，2）代入y=，即可作出判斷；

（2）設直線M'N′的解析式為y=﹣x+b，由得x2﹣2bx+4=0，再根據判別式即可求解．

（1）∵矩形OABC的頂點B的坐標為（4，2），

∴點M的橫坐標為4，點N的縱坐標為2，

把x=4代入y=﹣x+，得y=，

∴點M的坐標為（4，），

把y=2代入y=﹣x+，得x=1，

∴點N的坐標為（1，2），

∵函數y=（x＞0）的圖象過點M，

∴k=4×=2，

∴y=（x＞0），

把N（1，2）代入y=，得2=2，

∴點N也在函數y=（x＞0）的圖象上；

（2）設直線M'N′的解析式為y=﹣x+b，

由 得x2﹣2bx+4=0，

∵直線y=﹣x+b與函數y=（x＞0）的圖象僅有一個交點，

∴△=（﹣2b）2﹣4×4=0，

解得b=2，b2=﹣2（舍去），

∴直線M'N′的解析式為y=﹣x+2．