Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中點，AD⊥AE．

（1）求證：AC2=CD·BC；

（2）過E作EG⊥AB，并延長EG至點K，使EK=EB．

①若點H是點D關于AC的對稱點，點F為AC的中點，求證：FH⊥GH；

②若∠B=30°，求證：四邊形AKEC是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析.

【解析】

（1）欲證明AC2=CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；（2）①連接AH．構建直角△AHC，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰對等角以及等量代換得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；

②利用“在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”、“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知四邊形AKEC的四條邊都相等，則四邊形AKEC是菱形．

解：（1）∵AC平分∠BCD，∴∠DCA=∠ACB．

又∵AC⊥AB，AD⊥AE，

∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，

∴∠DAC=∠EAB．

又∵E是BC的中點， ∴AE=BE，

∴∠EAB=∠ABC，∴∠DAC=∠ABC，

∴△ACD∽△BCA，∴，

∴=CD·BC；

（2）①證明：連接AH．∵∠ADC=∠BAC=90°，點H、D關于AC對稱，∴AH⊥BC．

∵EG⊥AB，AE=BE，

∴點G是AB的中點，

∴HG=AG，∴∠GAH=∠GHA．

∵點F為AC的中點，

∴AF=FH，∴∠HAF=∠FHA，

∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，

∴FH⊥GH；

②∵EK⊥AB，AC⊥AB， ∴EK∥AC，

又∵∠B=30°，∴AC=BC=EB=EC．

又EK=EB，∴EK=AC，

即AK=KE=EC=CA，∴四邊形AKEC是菱形．