Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線BC：y＝交x軸于點B，點A在x軸正半軸上，OC為△ABC的中線，C的坐標為（m，）

（1）求線段CO的長；

（2）點D在OC的延長線上，連接AD，點E為AD的中點，連接CE，設點D的橫坐標為t，△CDE的面積為S，求S與t的函數解析式；

（3）在（2）的條件下，點F為射線BC上一點，連接DB、DF，且∠FDB＝∠OBD，CE＝，求此時S值及點F坐標．

Answer 1

【答案】（1）CO＝5；（2）S＝﹣2t﹣5；（3）S＝7，F坐標為（，）或（，8）．

【解析】

（1）將點C坐標代入解析式可求m的值，由兩點距離公式可求解；

（2）先求出點A坐標，用待定系數法可求CO解析式，可得點D坐標點D（t，﹣t），由面積和差關系可求解；

（3）由中點坐標公式可得點E坐標（，﹣t），由兩點距離公式可求t的值，即可求S的值，分兩種情況討論，由等腰三角形的性質和平行線的性質可求解．

解：（1）∵直線BC：y＝x+交x軸于點B，

∴點B坐標（﹣8，0），

∵C的坐標為（m，）

∴＝×m+，

∴m＝﹣，

∴點C坐標為（﹣，）

∴CO＝＝5；

（2）如圖，

∵OC為△ABC的中線，

∴BO＝AO＝8，

∴S△ACO＝×8×＝10，

∵點C坐標為（﹣，），點O坐標（0，0）

設直線CO為：y=kx，

把C點代入得=﹣×k，

解得k=﹣

∴直線CO解析式為：y＝﹣x，

∴點D（t，﹣t），

∴S△AOD＝×8×（﹣t）＝﹣4t，

∴S△ACD＝S△AOD﹣S△AOC＝﹣4t﹣10，

∵點E為AD的中點，

∴S＝S△ACD＝﹣2t﹣5；

（3）∵點D（t，﹣t），點A（8，0），點E是AD中點，

∴點E坐標（，﹣t），

∵CE＝，

∴（﹣﹣）2+（+t）2＝13，

∴t1＝﹣6，t2＝﹣8，

∴點D（﹣6，）或（﹣8，8），

當t1＝﹣6時，則點F（﹣6，），S＝﹣2×（﹣6）﹣5＝7，

延長DF交x軸于點H，

設點H（x，0）

∵∠FDB＝∠OBD，

∴DH＝BH，

∴x+8＝

∴x＝20，

∴點H（20，0），

設直線DH的解析式為：y＝kx+b，

∴

∴

∴直線DH的解析式為：y＝﹣x+，

聯立直線DH和直線BC

∴x+＝﹣x+，

∴x＝，

∴點F（，），

當t2＝﹣8，點D（﹣8，8），S＝﹣2×（﹣8）﹣5＝11，

∵點D（﹣8，8），點B（﹣8，0），

∴∠DBO＝90°，

∵∠FDB＝∠OBD＝90°，

∴DF∥BO，

∴點F的縱坐標為8，

∴8＝x+，

∴x＝，

∴點F（，8）．

綜上所述：點F坐標為（，）或（，8）．