Question

【題目】已知：點A，B，C都在⊙O上，連接AB，AC，點D，E分別在AC，AB上，連接CE并延長交⊙O于點F，連接BD，BF，∠BDC﹣∠BFC＝2∠ABF．

（1）如圖1，求證：∠ABD＝2∠ACF；

（2）如圖2，CE交BD于點G，過點G作GM⊥AC于點M，若AM＝MD，求證：AE＝GD；

（3）如圖3，在（2）的條件下，當AE：BE＝8：7時，連接DE，且∠ADE＝30°．延長BD交⊙O于點H，連接AH，AH＝8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）13

【解析】

（1）注意到同弧所對的圓周角相等以及∠BDC是△ABD的外角，結合題中所告訴的角度等式進行代換變形即可得結論；

（2）連接AG，設∠CGD＝∠BGE＝β，∠ACF＝α，然后推出∠AEG＝∠AGE，再根據等角對等邊即可證出結論；

（3）首先注意到特殊角∠ADE＝30°，于是作AP⊥DE于P，由HL定理可得△AEP≌△AGM，進而推出△AEG是等邊三角形，設AE＝8k，BE＝7k，作GN⊥AE于N，解△BGN可得sin∠ABG的值，而∠ABG是圓周角且所對的弦為AH，于是連接AO并延長交圓O于Q，連接HQ，sin∠AQH＝sin∠ABG＝，而AH已知，從而求出直徑AQ，半徑也就自然知道了．

解：（1）∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC，

∠BDC﹣∠BFC＝2∠ABF，

∴∠ABD+∠BAC﹣∠BFC＝2∠ABF，

∵∠ABF＝∠ACF，∠BFC＝∠BAC，

∴∠ABD+∠BFC﹣∠BFC＝2∠ACF，

∴∠ABD＝2∠ACF．

（2）如圖2，連接AG．

設∠CGD＝∠BGE＝β，∠ACF＝α，

則∠ABD＝2α，∠AEG＝∠ABD+∠BGE＝2α+β，

∠GDA＝∠CGD+∠ACF＝α+β，

∵GM⊥AD于M且AM＝DM，

∴AG＝DG，

∴∠GAD＝∠GDA＝α+β，

∴∠AGE＝∠GAD+∠ACF＝α+β+α＝2α+β，

∴∠AGE＝∠AEG，

∴AE＝AG＝GD．

（3）如圖3，連接AG，作AP⊥DE于P，

∵∠ADE＝30°，

∴∠PAD＝60°，AP＝AD，

∵GM⊥AD，

∴∠AMG＝∠APE＝90°，

∵AM＝MD，

∴AM＝AD＝AP，

由（2）可知AE＝AG，

在Rt△AEP和Rt△AGM中：

∴Rt△AEP≌Rt△AGM（HL），

∴∠EAP＝∠GAM，

∵∠GAM+∠PAG＝∠PAD＝60°，

∴∠EAP+∠PAG＝∠EAG＝60°，

∴△AEG是等邊三角形，

∴EG＝AE＝AG＝DG，

∵AE：BE＝8：7，

∴設AE＝8k，BE＝7k，

作GN⊥AE于N，AN＝EN＝4k，NG＝4k，

∴BN＝BE+EN＝11k，

∴BG＝＝＝13k，

∴sin∠ABG＝＝，

連接AO并延長交圓O于Q，連接HQ，

則AQ為直徑，∠AHQ＝90°，

∴sin∠AQH＝，

∵∠AQH＝∠ABG，AH＝8，

∴＝，

∴AQ＝26，

∴AO＝AQ＝13，

即⊙O的半徑為13．