Question

【題目】如圖，直線與拋物線交于點A，B，點A在軸上，點B在軸上．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）點P是直線AB上方的拋物線上的一動點，若S△AOB∶S△PAB＝8∶3，求此時點P的坐標．

（3）點E是拋物線對稱軸上的動點，點F是拋物線上的點，判斷有幾個位置能夠使得點E，F，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出相應的點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）F(5，－)，(－3，－)，(3，)．

【解析】

（1）先根據一次函數求出點A、B的坐標，再利用待定系數法求解即可；

（2）先求出的面積，從而可得的面積，設點P的坐標為，如圖1（見解析），從而可得點C的坐標，再根據三角形的面積公式即可；

（3）分OB為平行四邊形的一條邊和OB為平行四邊形的一條對角線兩種情況，然后根據平行四邊形的性質分別求解即可．

（1）對于直線

當時，，則點B的坐標為

當時，則點A的坐標為

將點，代入拋物線的解析式得：

解得

則拋物線的解析式為；

（2）

如圖1，過點P作軸，交AB于點C

設點P的坐標為，則，點C的坐標為

即

解得或

當時，，則點P的坐標為

當時，，則點P的坐標為

綜上，此時點P的坐標為或；

（3）拋物線的對稱軸為

根據平行四邊形的定義，分以下兩種情況：

①當OB為平行四邊形的一條邊時

此時，有以下兩種情況，如圖2所示：

則點的橫坐標為，將其代入拋物線的解析式得：

即點的坐標為

點的橫坐標為，將其代入拋物線的解析式得：

即點的坐標為

②當OB為平行四邊形的一條對角線時，如圖3所示：

為平行四邊形

過點分別作x軸的平行線，分別交y軸和y軸的平行線與點M、N

，即

又

則點的橫坐標為，將其代入拋物線的解析式得：

即點的坐標為

綜上，點F的坐標為或或．