Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以為直徑作圓O，分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC于點H，連接DE交線段OA于點F．

（1）求證：DH是圓O的切線；

（2）若＝，求證A為EH的中點；

（3）若EA＝EF＝2，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）⊙O的半徑為1+

【解析】

（1）根據同圓的半徑相等和等邊對等角證明∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，則DH⊥AC，則DH是圓O的切線；

（2）先證明∠E＝∠B＝∠C，得△EDC是等腰三角形，證明△AEF∽△ODF，則，設OD＝3x，AE＝2x，可知EC＝8x，根據等腰三角形三線合一得EH＝CH＝4x，從而得結論；

（3）設⊙O的半徑為r，即OD＝OB＝r，證明DF＝OD＝r，則DE＝DF+EF＝r+2，BD＝CD＝DE＝r+2，證明△BFD∽△EFA，列比例式為，列方程即可求出r的值．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵OB＝OD，

∴△ODB是等腰三角形，

∠OBD＝∠ODB①，

在△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB②，

由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是圓O的切線；

（2）解：如圖，在⊙O中，∵∠E＝∠B，

∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，

∴△EDC是等腰三角形，

∵

∵AE∥OD，

∴△AEF∽△ODF，

∴

設OD＝3x，AE＝2x，

∵AO＝BO，OD∥AC，

∴BD＝CD，

∴AC＝2OD＝6x，

∴EC＝AE+AC＝2x+6x＝8x，

∵ED＝DC，DH⊥EC，

∴EH＝CH＝4x，

∴AH＝EH﹣AE＝4x﹣2x＝2x，

∴AE＝AH，

∴A是EH的中點；

（3）解：如圖，設⊙O的半徑為r，即OD＝OB＝r，

∵EF＝EA，

∴∠EFA＝∠EAF，

∵OD∥EC，

∴∠FOD＝∠EAF，

則∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，

∴DF＝OD＝r，

∴DE＝DF+EF＝r+2，

∴BD＝CD＝DE＝r+2，

在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，

∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，

∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，

∴BF＝BD＝r+2，

∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，

∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，

∴△BFD∽△EFA，

∴

∴

解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），

經檢驗地，r＝1+時，，故根成立

綜上所述，⊙O的半徑為1+．