Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F分別為BC、CD的中點，連接AE，BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA延長線于點Q，下列結論正確都有（　　）個．

①QB＝QF；②AE⊥BF；③；④；④S四邊形ECFG＝2S△BGE

A.5B.4C.3D.2

Answer 1

【答案】C

【解析】

①△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關系求出QF=QB；
②首先證明△ABE≌△BCF，再利用角的關系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF；
③利用等面積法求得BG的長度；
④利用QF=QB，解出BP，QB，根據正弦的定義即可求解；
⑤根據AA可證△BGE與△BCF相似，進一步得到相似比，再根據相似三角形的性質即可求解．

解：①根據題意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°

∵CD∥AB，

∴∠CFB＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠PFB，

∴QF＝QB，故正確；

②∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CBF+∠BEA＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF，故正確；

③由②知，△ABE≌△BCF，則AE＝BF＝，

∵AE⊥BF

∴ABBE＝AEBG，故BG＝．

故錯誤；

④由①知，QF＝QB，

令PF＝k（k＞0），則PB＝2k

在Rt△BPQ中，設QB＝x，

∴x2＝（x﹣k）2+4k2，

∴x＝，

∴sin∠BQP＝，故正確；

⑤∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，

∴△BGE∽△BCF，

∵BE＝BC，BF＝BC，

∴BE：BF＝1：，

∴△BGE的面積：△BCF的面積＝1：5，

∴S四邊形ECFG＝4S△BGE，故錯誤．

綜上所述，共有3個結論正確．

故選C．