Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，且AD平分∠BAC．嘉淇同學先是以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AD于點P，交AC于點Q，然后以點C為圓心，AP長為半徑畫弧，交AC于點M，再以M為圓心，PQ長為半徑畫弧，交前弧于點N，作射線CN，交BA的延長線于點E．

（1）通過嘉淇的作圖方法判斷AD與CE的位置關系是　 ，數量關系是　 ；

（2）求證：AB＝AC；

（3）若BC＝24，CE＝10，求△ABC的內心到BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）AD∥CE，EC＝2AD；（2）見解析；（3）r＝．

【解析】

（1）由作圖方法可知∠DAC＝∠ACE，則AD∥CE，根據BC＝2BD，可證CE＝2AD；

（2）由（1）知△ABD∽△EBC，證出BE＝2AB，得AB＝AE，又AC＝AE，則AB＝AC；

（3）設△ABC內心到BC距離為r，可得，即可求出r．

（1）∵嘉淇的作圖方法可知∠DAC＝∠ACE，

∴AD∥CE，

∴△ABD∽△EBC，

∴，

∵AD為邊BC上的中線，

∴BC＝2BD，

∴CE＝2AD，

故答案為：AD∥CE，EC＝2AD；

（2）證明：∵AD∥CE，

∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC，

∴∠ACE＝∠E，

∴AC＝AE，

由（1）知△ABD∽△EBC，

∴，

∴EB＝2AB，即AB＝AE，

∴AB＝AC．

（3）解：∵BC＝24，CE＝10，

∴BD＝12，AD＝5，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BD，

設△ABC內心到BC距離為r，

∴，

∴，

∴60﹣12r＝13r

∴25r＝60，

∴r＝．