Question

【題目】在數學活動中，小明發現將兩塊不同的等腰直角三角板進行旋轉，能得到一組結論：在其中一塊三角板Rt△ABC，AB＝BC＝4，∠B為直角，將另一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AC的中點O處，將三角板繞點O旋轉，三角板的兩直角邊分別交AB、BC或其延長線于E、F兩點，如圖①與②是旋轉三角板所得圖形的兩種情況．

（1）三角板繞點O旋轉，△OFC是否能成為等腰直角三角形？若能，求出CF；若不能，請說明理由；

（2）三角板繞點O旋轉，線段OE和OF之間有什么數量關系？用圖②加以證明；

（3）若將三角板的直角原點放在斜邊上的點P處（如圖③），當，PF和PE有怎樣的數量關系，證明你發現的結論．

Answer 1

【答案】（1）CF＝2或CF＝4；（2）OE＝OF，理由詳見解析；（3）PF＝4PE，理由詳見解析.

【解析】

△OFC能成為等腰直角三角形，分∠OFC＝90°和∠COF＝90°兩種情況求FC的長即可；（2）OE＝OF，連結OB，CF，根據已知條件易證OB＝OC、∠EBO=∠OCF=135°、∠EOB＝∠FOC．利用ASA證明△OEB≌△OFC，即可得OE=OF；（3）PF＝4PE，如圖③，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，證明△PME∽△PNF，△APM∽△PCN，利用相似三角形的性質可得，由此即可求得，結論得證.

解：（1）△OFC能成為等腰直角三角形，

∵Rt△ABC，AB＝BC＝4，

∴∠C＝45°，

∵△OFC是等腰直角三角形，

∴∠OFC＝90°或∠COF＝90°，

當∠OFC＝90°時，OF⊥BC，

∵∠B＝90°，

∴OF∥AB，

∵點O是AC的中點，

∴點F是BC的中點，

∴CF＝BC＝2，

當∠COF＝90°時，此時點F和點B重合，CF＝BC＝4，

即：CF＝2或CF＝4；

（2）OE＝OF，

理由：連結OB，CF，如圖②，

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，O點為AC的中點，

∴OB＝AC＝OC，∠BOC＝90°，∠ABO=∠ACB=45°，

∴∠EBO=∠OCF=135°．

∵∠EOF＝90°，

∴∠EOB＝∠FOC．

在△OEB和△OFC中，

，

∴△OEB≌△OFC．

∴OE=OF；

（3）PF＝4PE，如圖③，過點P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M，

∵∠B＝90°，

∴∠MPN＝90°，

∵∠EPF＝90°，

∴∠EPN＝∠FPM．

∵∠ENP＝∠FMP＝90°，

∴△PNE∽△PMF，

∴ ，

∵△APN和△PCM為等腰直角三角形，

∴△APM∽△PCN，

∴,

∴

∵，

∴，

∴，

即：PF＝4PE．