Question

【題目】如圖AM∥BN，C是BN上一點， BD平分∠ABN且過AC的中點O，交AM于點D，DE⊥BD，交BN于點E．

（1）求證：△ADO≌△CBO．

（2）求證：四邊形ABCD是菱形．

（3）若DE = AB = 2，求菱形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由ASA即可得出結論；

（2）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證明AD＝AB，即可得出結論；

（3）由菱形的性質得出AC⊥BD，證明四邊形ACED是平行四邊形，得出AC＝DE＝2，AD＝EC，由菱形的性質得出EC＝CB＝AB＝2，得出EB＝4，由勾股定理得BD═，即可得出答案．

（1）∵點O是AC的中點，

∴AO＝CO，

∵AM∥BN，

∴∠DAC＝∠ACB，

在△AOD和△COB中，

，

∴△ADO≌△CBO（ASA）；

（2）由（1）得△ADO≌△CBO，

∴AD＝CB，

又∵AM∥BN，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AM∥BN，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABN，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AD＝AB，

∴平行四邊形ABCD是菱形；

（3）由（2）得四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AD＝CB，

又DE⊥BD，

∴AC∥DE，

∵AM∥BN，

∴四邊形ACED是平行四邊形，

∴AC＝DE＝2，AD＝EC，

∴EC＝CB，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴EC＝CB＝AB＝2，

∴EB＝4，

在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝，

∴．