Question

【題目】如圖，△ABC為⊙O的內接三角形，AB為⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線交BC的延長線于點D．

(1)求證：△DAC∽△DBA；

(2)過點C作⊙O的切線CE交AD于點E，求證：CE＝AD；

(3)若點F為直徑AB下方半圓的中點，連接CF交AB于點G，且AD＝6，AB＝3，求CG的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）利用AB為⊙O的直徑和AD是⊙O的切線，判斷出∠ACD＝∠BAD＝90°，即可得出結論；

（2）利用切線長定理判斷出AE=CE，進而得出∠DAC＝∠ECA，再用等角的余角相等判斷出∠D＝∠DCE，得出DE＝CE，即可得出結論；

（3）先求出tan∠ABD的值，進而求出GH=2CH，進而得出BC=3BH，再求出BC建立方程求出BH，進而得出GH，即可得出結論．

（1）證明：∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACD＝∠ACB＝90°，

∵AD是⊙O的切線，

∴∠BAD＝90°，

∴∠ACD＝∠BAD＝90°，

∵∠D＝∠D，

∴△DAC∽△DBA．

（2）證明：∵EA，EC是⊙O的切線，

∴AE＝CE，

∴∠DAC＝∠ECA，

∵∠ACD＝90°，

∴∠ACE＋∠DCE＝90°，∠DAC＋∠D＝90°，

∴∠D＝∠DCE，

∴DE＝CE，

∴AD＝AE＋DE＝CE＋CE＝2CE，

∴CE＝AD．

（3）解：在Rt△ABD中，AD＝6，AB＝3，

∴tan∠ABD＝＝2，

如圖，過點G作GH⊥BD于H，

∴tan∠ABD＝＝2，

∴GH＝2BH，

∵點F是直徑AB下方半圓的中點，

∴∠BCF＝45°，

∴∠CGH＝45°，

∴CH＝GH＝2BH，

∴BC＝BH＋CH＝3BH，

在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝2，

∴AC＝2BC，

根據勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，

∴4BC2＋BC2＝9，

∴BC＝，

∴3BH＝，

∴BH＝，

∴GH＝2BH＝，

在Rt△CHG中，∠BCF＝45°，

∴CG＝GH＝．