Question

【題目】在矩形OABC中，OA＝4，OC＝2，以點O為坐標原點，OA所在的直線為x軸，建立直角坐標系．

（1）將矩形OABC繞點C逆時針旋轉至矩形DEFC，如圖1，DE經過點B，求旋轉角的大小和點D，F的坐標；

（2）將圖1中矩形DEFC沿直線BC向左平移，如圖2，平移速度是每秒1個單位長度．

①經過幾秒，直線EF經過點B；

②設兩矩形重疊部分的面積為S，運動時間為t，寫出重疊部分面積S與時間t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）旋轉角為30°，D（1，），F（；（2）①直線EF經過點B時所需的時間為秒；②當0＜t＜1時，；當1≤t＜4時，．

【解析】

（1）根據OA＝4，OC＝2，可得BC＝2CD，則可以求出∠BCD＝60°，則旋轉角即可求得；作DM⊥CB于點M，FN⊥CB于點N，根據三角函數即可求得DM，CM的長，從而求得D的坐標，在Rt△CFN中，根據三角函數求得CN，FN的長，即可得F的坐標；

（2）①如圖，HB即為直線EF經過點B時移動的距離，在Rt△C′DH中利用三角函數即可求得DH，從而得到HE，再在Rt△HEB中，利用三角函數求得BH，即可求得時間；

②分兩種情況進行討論：當0＜t＜1時，重疊部分面積為四邊形DGCH，如圖2；當1≤t＜4時，重疊部分的面積為△GCH，如圖3，分別求解即可．

解：（1）如圖1，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝2，

∴在Rt△BCD中，BC＝2CD，即，

∴∠BCD＝60°，

∴旋轉角∠OCD＝30°，

作DM⊥CB于點M，FN⊥CB于點N，

在Rt△CDM中，CM＝CDcos60°＝1，DM＝CDsin60°＝，

∴點D到x軸的距離為，

在Rt△CFN中，，

∴點F到x軸的距離為4，

故D（1，），F（，）；

（2）①如圖2，HB即為直線EF經過點B時移動的距離，

在Rt△C′DH中，，

∴，

在Rt△BEH中，∠BHE＝∠C′HD＝30°，cos30°＝，則，

∴直線EF經過點B時所需的時間為秒；

②過點D作DM⊥BC于點M，

在Rt△DMC′中，C′M＝，

當0＜t＜1時，重疊部分面積為四邊形DGCH，如圖2，

∵C′C＝t，CG＝C′C·tan60°＝，

∴，

當1≤t＜4時，重疊部分的面積為△GCH，如圖3，

∵，

∴．