Question

【題目】已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．

（1）以AB邊上一點O為圓心作⊙O，使它過A，D兩點（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個交點為E，AB=3，BD=3,求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積．（結果保留根號和）

Answer 1

【答案】（1）相切，理由見解析； （2）

【解析】

（1）因為⊙O過A，D兩點，故圓心O應在AD垂直平分線上，根據尺規作圖法，作AD垂直平分線，與AB的交點即為O點，根據等邊對等角和角的等量代換可得∠CAD＝∠ODA ，繼而可知AC∥OD，再根據“兩直線平行，內錯角相等”和切線判定定理，即可求證．

（2）設⊙O的半徑為x，根據勾股定理，列關于x的方程，求x的值，再根據S陰影部分＝S△ODB－S扇形ODE，求出S陰影部分即可．

（1）作圖如圖所示．

直線BC與⊙O的位置關系為相切．

理由：連接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA

∵AD是∠OAC的角平分線，

∴∠OAD＝∠CAD，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴AC∥OD，

∴∠ODB＝∠ACB＝90°

∴OD⊥BC

即OD為⊙O的切線；

（2）如圖所示，陰影部分的面積即為所求面積．

設⊙O的半徑為x，

∵AB＝3，OD＝OA＝x，

∴OB＝3－x，

在Rt△ODB中，BD＝3，OD＝x，OB＝3－x

根據勾股定理得：

，

解得：x＝

即OD＝

OB＝

∴sin∠B＝

∴∠B＝30°

∴∠BOD＝90°－30°＝60°

∴S陰影部分＝S△ODB－S扇形ODE＝OD×BD－＝