Question

【題目】拋物線直線一個交點另一個交點在軸上，點是線段上異于的一個動點，過點作軸的垂線，交拋物線于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在這樣的點，使線段長度最大？若存在，求出最大值及此時點的坐標，若不存在，說明理由；

（3）求當為直角三角形時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，長度的最大值為，此時點的坐標為；（3）為直角三角形時點的坐標為或．

【解析】

（1）根據已知條件先求得，，將、坐標代入，再求得、，最后將其代入即可得解；

（2）假設存在符合條件的點，并設點的橫坐標，然后根據已知條件用含的式子表示出、的坐標，再利用坐標平面內距離公式求得、間的距離，將其進行配方即可進行判斷并求解；

（3）分、兩種情況進行討論，求得相應的符合要求的點坐標即可．

解：（1）∵拋物線直線相交于、

∴當時，；當時，，則

∴，

∴把代入得

∴

∴

（2）假設存在符合條件的點，并設點的橫坐標

則、

∴

∵

∴有最大值當時，長度的最大值為，此時點的坐標為

（3）①當時

∵直線垂直于直線

∴可設直線的解析式為

∵直線過點

∴

∴

∴直線的解析式為

∴

∴或(不合題意，舍去)

∴此時點的坐標為

∴當時，

∴此時點的坐標為；

②當時

∴點的縱坐標與點的縱坐標相等即

∴

∴解得 (舍去)

∴當時，

∴此時點的坐標為．

∴綜上所述，符合條件的點存在，為直角三角形時點的坐標為或．

故答案是：（1）；（2）當時，長度的最大值為，此時點的坐標為；（3）為直角三角形時點的坐標為或．