Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣2的圖象（記為拋物線C1）頂點為M，直線l：y＝2x﹣a與x軸，y軸分別交于A，B．

（1）對于拋物線C1，以下結(jié)論正確的是　 　；

①對稱軸是：直線x＝1；②頂點坐標（1，﹣a﹣2）；③拋物線一定經(jīng)過兩個定點．

（2）當a＞0時，設△ABM的面積為S，求S與a的函數(shù)關(guān)系；

（3）將二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣2的圖象C1繞點P（t，﹣2）旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)的圖象（記為拋物線C2），頂點為N．

①當﹣2≤x≤1時，旋轉(zhuǎn)前后的兩個二次函數(shù)y的值都會隨x的增大而減小，求t的取值范圍；

②當a＝1時，點Q是拋物線C1上的一點，點Q在拋物線C2上的對應點為Q'，試探究四邊形QMQ'N能否為正方形？若能，求出t的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①②③；（2）S＝a（a＞0）；（3）①；②t＝﹣2或1或4．

【解析】

（1）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣2的對稱軸為x＝＝1，y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x2﹣2x）﹣2，即可求解；

（2）由S＝S△BMD﹣S△AMD＝MD（OC﹣AC），即可求解；

（3）①而x＝1和x＝m關(guān)于P（t，﹣2）中心對稱，所以P到這兩條對稱軸的距離相等，則1﹣t＝t﹣m，m＝2t﹣1，且：2t﹣1≤﹣2，即可求解；②分t≤1、t＞1兩種情況求解即可．

解：（1）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣2的對稱軸為x＝＝1，

當x＝1時，y＝﹣a﹣2；

y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x2﹣2x）﹣2，即當x＝0或2時，拋物線過定點，即（0，﹣2）、（2，﹣2），

故答案為：①②③；

（2）由拋物線的頂點公式求得：頂點M（1，﹣a﹣2）

當x＝1時，y＝2×1﹣a＝2﹣a，求得：D（1，2﹣a）

當y＝0時，0＝2x﹣a，x＝a，求得：A（a/2，0）

∴DM＝2﹣a﹣（﹣a﹣2）＝4，

S＝S△BMD﹣S△AMD＝MD（OC﹣AC）＝×4×a＝a（a＞0），

（3）①當﹣2≤x≤1時，

C1的y的值都會隨x的增大而減小，而C1的對稱軸為x＝1，

﹣2≤x≤1在對稱軸的左側(cè)，C1開口向上，所以a＞0；

同時C2的開口向下，而又要當﹣2≤x≤1時y的值都會隨x的增大而減小，

所以﹣2≤x≤1要在C2的對稱軸右側(cè)，

令C2的對稱軸為x＝m，則m≤﹣2，

而x＝1和x＝m關(guān)于P（t，﹣2）中心對稱，所以P到這兩條對稱軸的距離相等，

所以：1﹣t＝t﹣m，m＝2t﹣1，且：2t﹣1≤﹣2，即：；

②當a＝1時，M（1，﹣3），作PE⊥CM于E，將Rt△PME繞P旋轉(zhuǎn)180°，得到Rt△PQF，

則△MPQ為等腰直角三角形，因為N、Q′是中心對稱點，所以四邊形MQNQ′為正方形．

第一種情況，當t≤1時，

PE＝PF＝1﹣t，ME＝QF＝1，CE＝2，

∴Q（t+1，﹣t﹣1），

把Q（t+1，﹣t﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2

﹣t﹣1＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣2，

t2+t﹣2＝0，

解得：t1＝1，t2＝﹣2；

第二種情況，當t＞1時，

PE＝PE＝t﹣1，ME＝QF＝1，CE＝2，

∴Q（t﹣1，t﹣3）代入：y＝x2﹣2x﹣2，

t﹣3＝（t﹣1）2﹣2（t﹣1）﹣2，

t2﹣5t+4＝0，

解得：t1＝1 （舍去），t2＝4

綜上：t＝﹣2或1或4．