Question

【題目】A，B是⊙C上的兩個點，點P在⊙C的內部．若∠APB為直角，則稱∠APB為AB關于⊙C的內直角，特別地，當圓心C在∠APB邊（含頂點）上時，稱∠APB為AB關于⊙C的最佳內直角．如圖1，∠AMB是AB關于⊙C的內直角，∠ANB是AB關于⊙C的最佳內直角．在平面直角坐標系xOy中．

（1）如圖2，⊙O的半徑為5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上兩點．

①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB關于⊙O的內直角的是　 　；

②若在直線y=2x+b上存在一點P，使得∠APB是AB關于⊙O的內直角，求b的取值范圍．

（2）點E是以T（t，0）為圓心，4為半徑的圓上一個動點，⊙T與x軸交于點D（點D在點T的右邊）．現有點M（1，0），N（0，n），對于線段MN上每一點H，都存在點T，使∠DHE是DE關于⊙T的最佳內直角，請直接寫出n的最大值，以及n取得最大值時t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①∠AP2B，∠AP3B；②﹣5＜b≤5；（2）n的最大值為2；t的取值范圍是﹣﹣1≤t＜5

【解析】

（1）判斷點P1，P2，P3是否在以AB為直徑的圓弧上即可得出答案；

（2）求得直線AB的解析式，當直線y=2x+b與弧AB相切時為臨界情況，證明△OAH∽△BAD，可求出此時b=5，則答案可求出；

（3）可知線段MN上任意一點（不包含點M）都必須在以TD為直徑的圓上，該圓的半徑為2，則當點N在該圓的最高點時，n有最大值2，再分點H不與點M重合，點M與點H重合兩種情況求出臨界位置時的t值即可得解．

解：（1）如圖1，

，，，

，，，

不在以為直徑的圓弧上，

故不是關于的內直角，

，，，

，，，

，

，

是關于的內直角，

同理可得，，

是關于的內直角，

故答案為：，；

（2）是關于的內直角，

，且點在的內部，

滿足條件的點形成的圖形為如圖2中的半圓（點，均不能取到），

過點作軸于點，

，，

，，

并可求出直線的解析式為，

當直線過直徑時，，

連接，作直線交半圓于點，過點作直線，交軸于點，

，，

，

，

是半圓的切線．

，，

，

，

，

，

，，

，

，

，直線的解析式為，

直線的解析式為，此時，

的取值范圍是．

（3）對于線段上每一個點，都存在點，使是關于的最佳內直角，

點一定在的邊上，

，，線段上任意一點（不包含點都必須在以為直徑的圓上，該圓的半徑為2，

當點在該圓的最高點時，有最大值，

即的最大值為2．

分兩種情況：

①若點不與點重合，那么點必須在邊上，此時，

點在以為直徑的圓上，

如圖3，當與相切時，，

，，

，

，，，

，

，

，

，

當與重合時，，

此時的取值范圍是，

②若點與點重合時，臨界位置有兩個，一個是當點與重合時，，另一個是當時，，

此時的取值范圍是，

綜合以上可得，的取值范圍是．