Question

【題目】如圖，點A，B，C是⊙O上的三個點，點D在BC的延長線上.有如下四個結論：①在∠ABC所對的弧上存在一點E，使得∠BCE=∠DCE；②在∠ABC所對的弧上存在一點E，使得∠BAE=∠AEC；③在∠ABC所對的弧上存在一點E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所對的弧上任意取一點E(不與點A，C重合) ，∠DCE=∠ABO +∠AEO均成立.上述結論中，所有正確結論的序號是（ ）

A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①當BE是⊙O的直徑時，根據圓周角定理和鄰補角的定義得到結論；②當AE∥BC時，得到弧AB=弧CE，根據圓周角定理得到結論；③當點E是弧AC的中點時，根據角平分線的定義得到結論；④根據圓內接四邊形的性質和四邊形的內角和得到結論．

解：

①當BE是⊙O的直徑時，∠BCE=∠DCE=90°，故①正確；
②當AE∥BC時，弧AB=弧CE，
∴弧BCE=弧ABC，
∴∠BAE=∠AEC；故②正確；
③當點E是弧AC的中點時，EO平分∠AEC；故正確；
④如圖2，∵∠A=∠ECD，∠A+ ∠BOE=180°，
∴∠ABO+∠AEO=360°-∠A-∠BOE=360°-∠DCE-2（180°-∠COE），
∴∠DCE=∠ABO+∠AEO，故正確；

故選：D．