Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E是BC邊上一點，連接DE，將矩形ABCD沿DE折疊，頂點C恰好落在AB邊上點F處，延長DE交AB的延長線于點G．

（1）求線段BE的長；

（2）連接CG，求證：四邊形CDFG是菱形；

（3）如圖2，P，Q分別是線段DG，CG上的動點（與端點不重合），且∠CPQ=∠CDP，是否存在這樣的點P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，請直接寫出DP的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，或

【解析】

（1）設，由矩形的性質，折疊的性質和勾股定理得出BF,EF的值，然后在中利用勾股定理即可求解；

（2）由矩形的性質得出，然后根據平行線分線段成比例可求出BG的長度，進而可求出FG的長度，則可證明結論；

（3）分兩種情況：和，分別利用等腰三角形的性質和相似三角形的判定及性質得出PG的長度，然后利用勾股定理求出DG的長度，最后利用即可求解．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴ ．

由折疊的性質可知， ，

，

，

．

設，則 ，

，

，

解得 ，

；

（2）證明：，

．

，

，

，

，

，

．

，

∴四邊形CDFG是平行四邊形．

∵，

∴四邊形CDFG是菱形；

（3）存在，理由如下：

①若，

∵四邊形CDFG是菱形，

∴ ，

．

，

．

，

，

．

，

．

，

，

；

②若，

過點P作交CG于點H，

，

．

，

，

．

，

．

∵四邊形CDFG是菱形，

∴ ．

，

，

，

，

，

，

綜上所述，DP的值為或．