Question

【題目】已知：如圖，∠QAN為銳角，H、B分別為射線AN上的點，點H關于射線AQ的對稱點為C，連接AC，CB．

（1）依題意補全圖；

（2）CB的垂直平分線交AQ于點E，交BC于點F．連接CE，HE，EB．

①求證：△EHB是等腰三角形；

②若AC+AB＝AE，求的值．

Answer 1

【答案】（1）補圖見解析；（2）①證明見解析；②．

【解析】

（1）根據要求畫出圖形即可；

（2）①證明△ACE≌△AHE（SAS），推出EC＝EH，由EF垂直平分線段BC，推出EC＝EB可得結論；

②如圖2﹣1中，作EM⊥AB于M．首先證明AC+AB＝2AM，結合已知條件可得4AM＝AE，在Rt△AEM中，根據＝求解即可解決問題．

（1）圖形如圖1所示：

（2）①證明：如圖2中，

∵C，H關于AQ對稱，

∴∠CAE＝∠EAH，AC＝AH，

∵AE＝AE，

∴△ACE≌△AHE（SAS），

∴EC＝EH，

∵EF垂直平分線段BC，

∴EC＝EB，

∴EH＝EB，

∴△EHB是等腰三角形．

②解：如圖2﹣1中，作EM⊥AB于M．

∵EH＝EB，EM⊥BH，

∴HM＝MB，

∴AC+AB＝AH+AB＝AM﹣HM+AM+BM＝2AM，

∵AC+AB＝AE，

∴4AM＝AE，

在Rt△AEM中，＝＝，

∴＝．