Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD2=CACB；

（2）求證：CD是⊙O的切線；

（3）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BE的長為5．

【解析】

（1）通過相似三角形（△ADC∽△DBC）的對應邊成比例來證得結論．

（2）如圖，連接OD．欲證明CD是⊙O的切線，只需證明CD⊥OA即可．

（3）通過相似三角形△EBC∽△ODC的對應邊成比例列出關于BE的方程，通過解方程來求線段BE的長度即可．

解：（1）證明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，

∴△ADC∽△DBC，

∴，即CD2=CACB．

（2）證明：如圖，連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

∴∠1+∠3=90°．

∵OA=OD，

∴∠2=∠3．

∴∠1+∠2=90°．

又∵∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，

∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°．

∴OD⊥OA．

又∵OA是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線．

（3）如圖，連接OE，

∵EB、CD均為⊙O的切線，

∴ED=EB，OE⊥DB．

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°．

∴∠ABD=∠OEB．

∴∠CDA=∠OEB．

∵tan∠CDA=，

∴．

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴．

∵BC=12，

∴CD=8．

在Rt△CBE中，設BE=x，

∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．

∴BE的長為5．