Question

【題目】如圖，在矩形中，，連結，點在射線上，以為邊在上方作，作，連結．

（1）當點在線段上時，證明：；

（2）若時，求的面積；

（3）的外接圓交射線于點，作直線交直線于點，交直線于點，連接，若，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或；（3）或．

【解析】

（1）根據相似三角形的判定和性質證明結論即可；

（2）分2種情況①當點在射線上時．先根據勾股定理求出AC的長，再作于點，構造直角三角形,根據相似三角形的判定和性質得出△PCM∽△ACB，進而推出，可設，，，在中，由，得出PM的值，進而求得的面積；②當點在線段上時，作于點，可得△PCM∽△ACB，同理可得的面積；

（3）分2種情況，①當點在線段的延長線上時，延長交于點，易得ΔEDM∽ΔGCF，設設，求出PB的長，再由△ABP∽△HFP，根據相似三角形的性質推出，求出FH的長；②當點在線段上，同理可得．

（1）證明：∵在矩形中，，，

∴，

又∵，

∴△AEP∽△ADC，

∴

（2）①當點在射線上時．

∵，

∴，

∴

中，

作于點，

可得△PCM∽△ACB，

∴，

∴可設，則，，

∴中，，

，

∴

的面積

②當點在線段上時，作于點，可得△PCM∽△ACB，

∴，

∴可設，則，，

∴中，，

，

∴

的面積

（3）∵，

又∵，，

∴，

∴，．

①當點在線段的延長線上時，延長交于點，

則，易得ΔEDM∽ΔGCF，

設，則有，，

∴，

，

，

又∵，

∴△ABP∽△HFP，

∴，

即，

∴

②當點在線段上，同理可得