Question

【題目】如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．

（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；

（2）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數，并說明理由；

（3）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b為常數），E是線段BC上一動點（不含端點B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點G恰好落在射線CD上．判斷當點E由B向C運動時，∠FCN的大小是否總保持不變？若∠FCN的大小不變，請用含a、b的代數式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發生改變，請舉例說明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）.

【解析】試題分析：

（1）由正方形的性質，用SAS證明△BAE≌△DAG；

（2）作FH⊥MN于H，證明△EFH≌△ABE，再證△CHF是等腰直角三角形；

（3）結合（1）（2），可證明△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，再用相似三角形的性質得到結論.

試題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，

∴∠BAE=∠DAG，

∴△BAE≌△DAG．

（2）解：∠FCN=45°，

理由是：作FH⊥MN于H，

∵∠AEF=∠ABE=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，

∴∠FEH=∠BAE，

又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，

∴△EFH≌△ABE，

∴FH=BE，EH=AB=BC，

∴CH=BE=FH，

∵∠FHC=90°，

∴∠FCN=45°．

（3）解：當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，

理由是：作FH⊥MN于H，

由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，

結合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，

又∵G在射線CD上，

∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，

∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，

∴EH=AD=BC=b，

∴CH=BE，

∴；

在Rt△FEH中，tan∠FCN=，

∴當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN=．