Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠B＝30°，點D在BC邊上由C向B勻速運動（D不與B、C重合），勻速運動速度為1cm/s，連接AD，作∠ADE＝30°，DE交線段AC于點E．

（1）在此運動過程中，∠BDA逐漸變　 　（填“大”或“小”）；D點運動到圖1位置時，∠BDA＝75°，則∠BAD＝　 　．

（2）點D運動3s后到達圖2位置，則CD＝　 　．此時△ABD和△DCE是否全等，請說明理由；

（3）在點D運動過程中，△ADE的形狀也在變化，判斷當△ADE是等腰三角形時，∠BDA等于多少度（請直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）大；75°；（2）3cm；△ABD和△DCE全等，理由見解析；（3）105°或 60°

【解析】

（1）根據點D的運動情況判斷∠BDA的變化情況，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理求出∠BAD；

（2）根據點D的運動情況求出CD，利用ASA定理證明△ABD≌△DCE；

（3）分AD=AE、DA=DE、EA=ED三種情況，根據等腰三角形的性質結合角的計算求出∠BDA的度數．

解：（1）在此運動過程中，∠BDA逐漸變大，

D點運動到圖1位置時，∠BAD=180°-∠B-∠BDA=75°，

故答案為：大；75°；

（2）點D運動3s后到達圖2位置，CD=3cm，此時△ABD≌△DCE，

理由如下：∵AB=AC，∠B=30°，

∴∠C=30°，

∵CD=CA=3cm，

∴∠CAD=∠CDA=×（180°-30°）=75°，

∴∠ADB=105°，∠EDC=75°-30°=45°，

∴∠DEC=180°-45°-30°=105°，

∴∠ADB=∠DEC，

在△ABD和△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（ASA），

（3）△ADE為等腰三角形分三種情況：

①當AD=AE時，∠ADE=30°，

∴∠AED=∠ADE=30°，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=120°，

∵∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，D不與B、C重合，

∴AD≠AE；

②當DA=DE時，∠ADE=30°，

∴∠DAE=∠DEA=（180°-∠ADE）=75°，

∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=105°；

③當EA=ED時，∠ADE=30°，

∴∠EAD=∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=120°，

∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=60°，

綜上可知：在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形，此時∠BDA的度數為60°或105°．