Question

【題目】如圖1，正方形CEFG繞正方形ABCD的頂點C旋轉，連接AF，點M是AF中點．

（1）當點G在BC上時，如圖2，連接BM、MG，求證：BM=MG；

（2）在旋轉過程中，當點B、G、F三點在同一直線上，若AB=5，CE=3，則MF=　　　　；

（3）在旋轉過程中，當點G在對角線AC上時，連接DG、MG，請你畫出圖形，探究DG、MG的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或；（3）DG=MG，理由見解析．

【解析】

(1)連接MG并延長交AB于N點，證明△ANM≌△FGM后得到MG=MN，AN=CG，進而得到BN=BG，得到△ANG為等腰直角三角形，即可證明MG=MB.

(2)分兩種情況畫出圖形再利用(1)中的思路結合勾股定理即可求解.

(3)先畫出圖形，然后證明△ADG≌△ABG，得到DG=BG，又△BMG為等腰直角三角形，故而得到DG=BG=MG.

解：(1) 連接MG并延長交AB于N點，如下圖所示：

∵GF∥AN，

∴∠NAM=∠GFM

在△ANM和△FGM中

，∴△ANM≌△FGM(ASA)

∴MG=MN，CG=GF=AN

∴AB-AN=BC-CG

∴NB=GB

∴△NBG為等腰直角三角形

又M是NG的中點

∴由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知：

故有：MG=MB.

(2)分類討論：

情況一：當B、G、F三點在正方形ABCD外同一直線上時

延長MG到N點，并使得MG=MN，連接AN，BN

∴，∴△AMN≌△FMG(SAS)

∴AN=GF=GC，∠NAM=∠GFM

∴AN∥GF

∴∠NAB+∠ABG=180°

又∠ABC=90°

∴∠NAB+∠CBG=90°

又在△BCG中，∠BCG+∠CBG=90°

∴∠NAB=∠BCG

∴在△ABN中和△CBG中：，∴△ABN≌△CBG(SAS)

∴BN=BG，∠ABN=∠CBG

∴∠ABC=∠NBG=90°

∴△NBG是等腰直角三角形，且∠BGN=45°

在Rt△BCG中，

過M點作MH⊥BG于H點，∴△MHB為等腰直角三角形

∴MH=BH=HG=BG=2

在Rt△MFH中，

情況二：當B、G、F三點在正方形ABCD內同一直線上時

如下圖所示，延長MG到MN，并使得MG=MN，連接NA、NB，

同情況一中證明思路，

，△AMN≌△FMG(SAS)

∴AN=GF=GC，∠NAM=∠GFM

∴AN∥GF

∴∠NAB=∠ABG

又∠ABG+∠GBC=90°

∠GBC+∠BIF=90°

∴∠BIF=∠ABG

又∠BIF=∠BCG，∠ABC=∠NAB

∴∠NAB=∠GCB

∴在△ABN中和△CBG中：，∴△ABN≌△CBG(SAS)

∴BN=BG，∠ABN=∠CBG

∴∠ABC=∠NBG=90°

∴△NBG是等腰直角三角形，且∠BGN=45°

在△BCG中，

過M點作MH⊥BG于H點，∴△MHB為等腰直角三角形

∴MH=BH=HG=BG=2

∴HF=HG-GF=2-1=1

在Rt△MFH中，

故答案為：或

(3)由題意作出圖形如下所示：

DG、MG的數量關系為：DG=MG，理由如下：

∵G點在AC上

∴∠DAG=∠BAG=45°

在△ADG和△ABG中：

，∴△ADG≌△BAG(SAS)

∴DG=BG

又由(2)中的證明過程可知：△MBG為等腰直角三角形

∴BG=MG

∴DG=MG

故答案為：DG=MG.