Question

【題目】如圖1，兩半徑為r的等圓⊙O1和⊙O2相交于M，N兩點，且⊙O2過點O1．過M點作直線AB垂直于MN，分別交⊙O1和⊙O2于A，B兩點，連接NA，NB．

（1）猜想點O2與⊙O1有什么位置關系，并給出證明；

（2）猜想△NAB的形狀，并給出證明；

（3）如圖2，若過M的點所在的直線AB不垂直于MN，且點A，B在點M的兩側，那么（2）中的結論是否成立，若成立請給出證明．

Answer 1

【答案】（1）O2在⊙O1上（2）△NAB是等邊三角形（3）仍然成立

【解析】試題分析：（1）通過證明圓心距等于半徑得出點在上；
（2）通過證明 從而得到是等邊三角形；
（3）根據在同圓中等弧所對的圓周角相等，可求出從求證得是等邊三角形．

試題解析：(1) 在上，

證明：∵過點，

又∵的半徑也是r，

∴點在上；

(2)△NAB是等邊三角形，

證明：∵MN⊥AB，

∴BN是的直徑,AN是的直徑，

即BN=AN=2r, 在BN上, 在AN上.

連接,則是△ABN的中位線。

∴AB=BN=AN，則△NAB是等邊三角形.

(3)仍然成立.

證明：由(2)得，△NAB是等邊三角形，

∴在中, 所對的圓周角為,在中所對的圓周角為，

∴當點A，B在點M的兩側時，

在中所對的圓周角

在中所對的圓周角

∴△NAB是等邊三角形.