Question

【題目】點為圖形上任意一點，過點作直線垂足為，記的長度為.

定義一:若存在最大值，則稱其為“圖形到直線的限距離”，記作；

定義二:若存在最小值，則稱其為“圖形到直線的基距離”，記作；

（1）已知直線，平面內反比例函數在第一象限內的圖象記作則 ．

（2）已知直線，點，點是軸上一個動點，的半徑為，點在上，若求此時的取值范圍，

（3）已知直線恒過定點，點恒在直線上，點是平面上一動點，記以點為頂點，原點為對角線交點的正方形為圖形，若請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或

【解析】

（1）作直線：平行于直線，且與H相交于點P，連接PO并延長交直線于點Q，作PM⊥x軸，根據只有一個交點可求出b，再聯立求出P的坐標，從而判斷出PQ平分∠AOB，再利用直線表達式求A、B坐標證明OA=OB，從而證出PQ即為最小距離，最后利用勾股定理計算即可；

（2）過點作直線，可判斷出上的點到直線的最大距離為，然后根據最大距離的范圍求出TH的范圍，從而得到FT的范圍，根據范圍建立不等式組求解即可；

（3）把點P坐標帶入表達式，化簡得到關于a、b的等式，從而推出直線的表達式，根據點E的坐標可確定點E所在直線表達式，再根據最小距離為0，推出直線一定與圖形K相交，從而分兩種情況畫圖求解即可．

解：（1）作直線：平行于直線，且與H相交于點P，連接PO并延長交直線于點Q，作PM⊥x軸，

∵ 直線：與H相交于點P，

∴，即，只有一個解，

∴，解得，

∴，

聯立，解得，即，

∴，且點P在第一、三象限夾角的角平分線上，即PQ平分∠AOB，

∴為等腰直角三角形，且OP=2，

∵直線：，

∴當時，，當時，，

∴A(－2，0)，B(0，－2)，

∴OA=OB=2，

又∵OQ平分∠AOB，

∴OQ⊥AB，即PQ⊥AB，

∴PQ即為H上的點到直線的最小距離，

∵OA=OB，

∴，

∴AQ=OQ，

∴在中，OA=2，則OQ=，

∴，即；

（2）由題過點作直線，

則上的點到直線的最大距離為，

∵，

即，

∴，

由題，則，

∴，

又∵，

∴，

解得或；

（3）∵直線恒過定點，

∴把點P代入得：，

整理得：，

∴，化簡得，

∴，

又∵點恒在直線上，

∴直線的表達式為：，

∵，

∴直線一定與以點為頂點，原點為對角線交點的正方形圖形相交，

∵，

∴點E一定在直線上運動，

情形一：如圖，當點E運動到所對頂點F在直線上時，由題可知E、F關于原點對稱，

∵，

∴，

把點F代入得：，解得：，

∵當點E沿直線向上運動時，對角線變短，正方形變小，無交點，

∴點E要沿直線向下運動，即；

情形二：如圖，當點E運動到直線上時，

把點E代入得：，解得：，

∵當點E沿直線向下運動時，對角線變短，正方形變小，無交點，

∴點E要沿直線向上運動，即，

綜上所述，或．