Question

【題目】如圖，點在線段上，在的同側作角的直角三角形和角的直角三角形，與，分別交于點，，連接.對于下列結論：

①；②；③圖中有5對相似三角形；④．其中結論正確的個數是(　　)

A.1個B.2個C.4個D.3個

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，設AC與PB的交點為N，根據直角三角形的性質得到，根據相似三角形的判定定理得到△BAE∽△CAD，故①正確；根據相似三角形的性質得到∠BEA＝∠CDA，推出△PME∽△AMD，根據相似三角形的性質得到MPMD＝MAME，故②正確；由相似三角形的性質得到∠APM＝∠DEM＝90，根據垂直的定義得到AP⊥CD，故④正確；同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，于是得到圖中相似三角形有6對，故③不正確．

如圖，設AC與PB的交點為N，

∵∠ABC＝∠AED＝90，∠BAC＝∠DAE＝30，

∴，∠BAE＝30＋∠CAE，∠CAD＝30＋∠CAE，

∴∠BAE＝∠CAD，

∴△BAE∽△CAD，故①正確；

∵△BAE∽△CAD，

∴∠BEA＝∠CDA，

∵∠PME＝∠AMD，

∴△PME∽△AMD，

∴，

∴MPMD＝MAME，故②正確；

∴，

∵∠PMA＝∠EMD，

∴△APM∽△DEM，

∴∠APM＝∠DEM＝90，

∴AP⊥CD，故④正確；

同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，

∵△ABC∽△AED，

∴圖中相似三角形有6對，故③不正確；

故選：D．