Question

【題目】如圖，已知△ABC為等邊三角形，點E為△ABC內部一點，△ABE繞點B順時針旋轉60°得到△CBD，且A、D、E三點在同一直線上，AD與BC交于點F，則以下結論中：①△BED為等邊三角形；②△BED與△ABC的相似比始終不變；③△BDE∽△ADB；④當∠BAE＝45°時， 其中正確的有_____（填寫序號即可）．

Answer 1

【答案】①

【解析】

根據旋轉的性質得到∠DBE＝60°，BE＝BD，推出△BED是等邊三角形；故①正確；根據等邊三角形的性質得到AB＝BC，BE＝BD，推出△BED與△ABC的相似比隨著BE的變化而變化，故②錯誤；根據相似三角形的判定定理得到△BDE與△ADB不相似；故③錯誤；解直角三角形得到，故④錯誤．

解：∵△ABE繞點B順時針旋轉60°得到△CBD，

∴∠DBE＝60°，BE＝BD，

∴△BED是等邊三角形；故①正確；

∴△ABC與△EBD是等邊三角形，

∴AB＝BC，BE＝BD，

∵△BED∽△ABC，

∴，

∴△BED與△ABC的相似比隨著BE的變化而變化，故②錯誤；

∵△BDE是等邊三角形，而△ADB不是等邊三角形，

∴△BDE與△ADB不相似；故③錯誤；

∵∠BAE＝45°，

∴∠DCF＝45°，

∴∠ADC＝180°﹣15°﹣105°＝60°，

過F作FH⊥CD與H，

∴CH＝HF，

設CH＝HF＝x，

∴DH＝x，DF＝x，

∴CD＝CH+DH＝x+x，

∴，故④錯誤.

故答案是：①．