Question

【題目】已知二次函數（a＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點，（A在B左側，且OA＜OB），與y軸交于點C.

（1）求C點坐標，并判斷b的正負性；

（2）設這個二次函數的圖像的對稱軸與直線AC交于點D，已知DC：CA=1：2，直線BD與y軸交于點E，連接BC，

①若△BCE的面積為8，求二次函數的解析式；

②若△BCD為銳角三角形，請直接寫出OA的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）b＜0；（2）①；②

【解析】

(1)把x=0代入，即可求得點C坐標，根據 OA＜OB，可知，由a＞0即可求得b＜0；

(2)①過點D作DM⊥y軸，垂足為M，則有，由此可得，設A(-2m，0)m＞0，則AO=2m，DM=m，繼而可得D(m，-6)，B(4m，0)，AB=6m， BN=3m，再由DN//OE，可得△BND∽△BOE，繼而根據相似三角形的性質可得OE=8，再根據，可求得，由此可得A(-2，0)，B(4，0)，設，繼而可得C(0，-8a)，再根據C點(0，-4)可求得a值，即可求得答案；

②由①易知：B(4m，0)，C(0，-4)，D(m，-6)，∠CBD一定為銳角，利用勾股定理求得，然后分兩種情況進行討論即可得.

(1)當x=0時，=-4，

∴C(0，-4)，

∵ OA＜OB，∴對稱軸在y軸右側，即，

∵a＞0，∴b＜0；

(2)①過點D作DM⊥y軸，垂足為M，則有DM//OA，

∴△DCM∽△ACO，

∴，

∴，

設A(-2m，0)m＞0，則AO=2m，DM=m，

∵OC=4，∴CM=2，

∴D(m，-6)，B(4m，0)，AB=6m， BN=3m，

∵DN//OE，

∴△BND∽△BOE，

∴，

即，

∴OE=8，

∴CE=OE-OC=4，

∴，

∴，

∴A(-2，0)，B(4，0)，

設，

即，

令x=0，則y=-8a，

∴C(0，-8a)，

∴-8a=-4，

∴a=，

∴；

②由①易知：B(4m，0)，C(0，-4)，D(m，-6)，∠CBD一定為銳角，

由勾股定理可得：，

當∠CDB為銳角時，，

，

解得；

當∠BCD為銳角時，，

，

解得，

綜上：，

∴，

∴.