Question

【題目】如圖，已知直線y＝－3x＋c與x軸相交于點A(1，0)，與y軸相交于點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A，B，與x軸的另一個交點是C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是對稱軸的左側拋物線上的一點，當S△PAB＝2S△AOB時，求點P的坐標；

(3)連接BC，拋物線上是否存在點M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－2x＋3；（2）P點的坐標為(－2，3)；(3)存在點M，使∠MCB＝∠ABO，點M的坐標為(，)或(－1，4)．

【解析】

（1）先把A點坐標代入y=-3x+c求出得到B（0，3），然后利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）連接OP，如圖1，拋物線的對稱軸為直線x=-1，設P（x，-x2-2x+3）（x＜-1），由于S△PAB=S△POB+S△ABO-S△POA，S△PAB=2S△AOB，則S△POB-S△POA=S△ABO，討論：當P點在x軸上方時，×3×（-x）-×1×（-x2-2x+3）=×1×3，當P點在x軸下方時，×3×（-x）+×1×（x2+2x-3）=×1×3，然后分別解方程求出x即可得到對應P點坐標；

（3）解方程-x2-2x+3=0得C（-3，0），則可判斷△OBC為等腰直角三角形，討論：當∠BCM在直線BC下方時，如圖2，直線CM交y軸于D，作DE⊥BC于E，設D（0，t），表示出DE=BE=（3-t），接著利用tan∠MCB=tan∠ABO得到，所以3-（3-t）=（3-t），解方程求出t得到D點坐標，接下來利用待定系數法確定直線CD的解析式為y=x+，然后解方程組得此時M點坐標；當∠BCM在直線CB上方時，如圖3，CM交直線AB于N，易得直線AB的解析式為y=-3x+3，設N（k，-3k+3），證明△ABC∽△ACN，利用相似比求出AN=，再利用兩點間的距離公式得到（k-1）2+（-3k+3）2=（）2，解方程求出t得N點坐標為（-，），易得直線CN的解析式為y=2x+6，然后解方程組得此時M點坐標．

（1）把A（1，0）代入y=-3x+c得-3+c=0，解得c=3，則B（0，3），

把A（1，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c得，解得，

∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3；

（2）連接OP，如圖1，

拋物線的對稱軸為直線x=-=-1，

設P（x，-x2-2x+3）（x＜-1），

S△PAB=S△POB+S△ABO-S△POA，

∵S△PAB=2S△AOB，

∴S△POB-S△POA=S△ABO，

當P點在x軸上方時，×3×（-x）-×1×（-x2-2x+3）=×1×3，解得x1=-2，x2=3（舍去），此時P點坐標為（-2，3）；

當P點在x軸下方時，×3×（-x）+×1×（x2+2x-3）=×1×3，，解得x1=-2（舍去），x2=3（舍去），

綜上所述，P點坐標為（-2，3）；

（3）存在．

當y=0時，-x2-2x+3=0，解得x1=-1，x2=-3，則C（-3，0），

∵OC=OB=3，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=3，

當∠BCM在直線BC下方時，如圖2，直線CM交y軸于D，作DE⊥BC于E，設D（0，t），

∵∠DBE=45°，

∴△BDE為等腰直角三角形，

∴DE=BE=BD=（3-t），

∵∠MCB=∠ABO，

∴tan∠MCB=tan∠ABO，

∴，即CE=3DE，

∴3-（3-t）=（3-t），解得t=，則D（0，），

設直線CD的解析式為y=mx+n，

把C（-3，0），D（0，）代入得，解得，

∴直線CD的解析式為y=x+，

解方程組得或，此時M點坐標為（，）；

當∠BCM在直線CB上方時，如圖3，CM交直線AB于N，

易得直線AB的解析式為y=-3x+3，AB=，AC=4

設N（k，-3k+3），

∵∠MCB=∠ABO，∠CBO=∠OCB，

∴∠NCA=∠ABC，

而∠BAC=∠CAN，

∴△ABC∽△ACN，

∴AB：AC=AC：AN，即：4=4：AN，

∴AN=，

∴（k-1）2+（-3k+3）2=（）2，

整理得（k-1）2=，解得k1=（舍去），k2=-，

∴N點坐標為（-，），

易得直線CN的解析式為y=2x+6，

解方程組，得或，此時M點坐標為（-1，4），

綜上所述，滿足條件的M點的坐標為(，)或（-1，4）．

綜上所述，存在點M，使∠MCB＝∠ABO，點M的坐標為(，)或(－1，4)．