Question

【題目】已知關于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；

（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長。

Answer 1

【答案】解：（1）證明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，

∴在實數范圍內，m無論取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0。

∴關于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有兩個不相等的實數根。

（2）∵此方程的一個根是1，

∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，

則方程的另一根為：m＋2－1=2+1=3。

①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為，該直角三角形的周長為1＋3＋=4＋。

②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長為1＋3＋=4＋。

【解析】（1）根據關于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判別式的符號來證明結論。

（2）根據一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數的關系求得方程的另一根。分類討論：①當該直角三角形的兩直角邊是2、3時，②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時，由勾股定理求出得該直角三角形的另一邊，再根據三角形的周長公式進行計算。