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6]　 　－3　　　 0　　　 15

[－3　　 6]　　　 0　　　 15

[－3　　 0　　　 6]　　 15

[－3　　 0　　　 6　　　 15]

用冒泡排序法排序：

題型4：進位值

例7．把十進制數89化為三進制數，并寫出程序語句.

解析：具體的計算方法如下：

89=3×29+2

29=3×9+2

9=3×3+0

3=3×1+0

1=3×0+1

所以:89₍₁₀₎=1011001₍₃₎。

點評：根據三進制數滿三進一的原則，可以用3連續去除89及其所的得的商，然后按倒序的先后順序取出余數組成數據即可。

例8．將8進制數314706₍₈₎化為十進制數，并編寫出一個實現算法的程序。

解析：314706₍₈₎=3×8⁵+1×8⁴+4×8³+7×8²+0×8¹+6×8⁰=104902。

所以，化為十進制數是104902。

點評：利用把k進制數轉化為十進制數的一般方法就可以把8進制數314706₍₈₎化為十進制數，然后根據該算法，利用GET函數，應用循環結構可以設計程序。

題型1：求最大公約數

例1．(1)用輾轉相除法求123和48的最大公約數？

(2)用更相減損來求80和36的最大公約數？

解析：(1)輾轉相除法求最大公約數的過程如下：(建立帶余除式)

　123＝2×48+27

　48＝1×27+21

　27＝1×21+6

　21＝3×6+3

　6＝2×3+0

最后6能被3整除，得123和48的最大公約數為3。

(2)分析：我們將80作為大數，36作為小數，執行更相減損術來求兩數的最大公約數。執行結束的準則是減數和差相等。

更相減損術：

因為80和36都是偶數，要去公因數2。

80÷2=40，36÷2=18；

40和18都是偶數，要去公因數2。

40÷2=20，18÷2=9

下面來求20與9的最大公約數，

20－9=11

11－9=2

9－2=7

7－2=5

5－2=3

3－2=1

2－1=1

可得80和36的最大公約數為2²×1=4。

點評：對比兩種方法控制好算法的結束，輾轉相除法是到達余數為0，更相減損術是到達減數和差相等。

例2．設計一個算法，求出840與1764的最大公因數。

解析：我們已經學習過了對自然數的素因數分解的方法，下面的算法就是在此基礎上設計的。

解題思路如下：

首先對兩個數進行素因數分解：

840=2³×3×5×7，1764=2²×3²×7²_，

其次，確定兩個數的公共素因數：2，3，7。

接著確定公共素因數的指數：對于公共素因數2，840中為2³，1764中為2²，應取較少的一個2²，同理可得下面的因數為3和7。

算法步驟：

第一步：將840進行素數分解2³×3×5×7；

第二步：將1764進行素數分解2²×3²×7²；

第三步：確定它們的公共素因數：2，3，7；

第四步：確定公共素因數2，3，7的指數分別是：2，1，1；

第五步：最大公因數為2²×3¹×7¹=84。

點評：質數是除1以外只能被1和本身整除的正整數，它應該是無限多個，但是目前沒有一個規律來確定所有的質數。

題型2：秦九韶算法

例3．(2005北京，14)已知n次多項式，如果在一種算法中，計算(k＝2，3，4，…，n)的值需要k－1次乘法，計算的值共需要9次運算(6次乘法，3次加法)，那么計算的值共需要　　　　　　　 次運算。下面給出一種減少運算次數的算法：(k＝0， 1，2，…，n－1)．利用該算法，計算的值共需要6次運算，計算的值共需要　　　　 次運算。

答案：65；20。

點評：秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀的求值問題。直接法乘法運算的次數最多可到達，加法最多n次。秦九韶算法通過轉化把乘法運算的次數減少到最多n次，加法最多n次。

例4．已知多項式函數f(x)=2x⁵－5x⁴－4x³+3x²－6x+7，求當x=5時的函數的值。

解析：把多項式變形為：f(x)= 2x⁵－5x⁴－4x³+3x²－6x+7

=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7

計算的過程可以列表表示為：

多項式x系數	2	－5	－4	3	－6	7	運算
運算所得的值		10	25	105	540	2670	+
變形后x的"系數"	2	5	21	108	534	2677	*5

最后的系數2677即為所求的值。

算法過程：

v₀=2

v₁=2×5－5=5

v₂=5×5－4=21

v₃=21×5+3=108

v₄=108×5－6=534

v₅=534×5+7=2677

點評：如果多項式函數中有缺項的話，要以系數為0的項補齊后再計算。

題型三：排序

例4．試用兩種排序方法將以下8個數：7,1,3,12,8,4,9,10。按照從大到小的順序進行排序。

解析：可以按照直接插入排序和冒泡排序這兩種方法的要求，結合圖形，分析寫出。

直接插入法排序：

7]　 1　 3　 12　 8　 4　 9　 10

[7　 1]　 3　 12　 8　 4　 9　 10

[7　 3　 1]　 12　 8　 4　 9 　10

[12　 7　 3　　 1]　 8　 4　 9　 10

[12　 8　 7　　 3　 1]　 4　 9　 10

[12　 8　 7　　 4　　 3　 1]　 9　 10

[12　 9　 8　　 7　　 4　 3　 1]　 10

[12　 10　 9　　 8　　 7　　 4　 3　 1]　

冒泡排序

第一趟

第2趟　 第3趟　　 第4趟　　 第5趟　 第6趟

點評：直接插入法和冒泡法排序是常見的排序方法，通過該例，我們對比可以發現，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，執行的操作步驟更少一些。

例6．給出以下四個數：6，－3，0，15，用直接插入法排序將它們按從小到大的順序排列，用冒泡法將它們按從大到小的順序排列。

分析：不論從大到小的順序還是按從大到小的順序，都可按兩種方法的步驟進行排序。

解析：

直接插入排序法：

4．進位制

(1)概念

進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值。可使用數字符號的個數稱為基數，基數為n，即可稱n進位制，簡稱n進制。現在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數字0-9進行記數。

對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數，那么以k為基數的k進制可以表示為：

，

而表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示,如111001₍₂₎表示二進制數,34₍₅₎表示5進制數。

(2)進位制間的轉換

關于進位制的轉換，教科書上以十進制和二進制之間的轉換為例講解，并推廣到十進制和其它進制之間的轉換。這樣做的原因是，計算機是以二進制的形式進行存儲和計算數據的，而一般我們傳輸給計算機的數據是十進制數據，因此計算機必須先將十進制數轉換為二進制數，再處理，顯然運算后首次得到的結果為二進制數，同時計算機又把運算結果由二進制數轉換成十進制數輸出。

非十進制數轉換為十進制數比較簡單，只要計算下面的式子值即可：

第一步：從左到右依次取出k進制數各位上的數字，乘以相應的k的冪，k的冪從n開始取值，每次遞減1，遞減到0，即；

第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結果就是相應的十進制數。

十進制數轉換成非十進制數

把十進制數轉換為二進制數，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進制數轉換成k進制數的算法“除k取余法”。

非十進制之間的轉換

一個自然的想法是利用十進制作為橋梁。教科書上提供了一個二進制數據與16進制數據之間的互化的方法，也就是先有二進制數轉化為十進制數，再由十進制數轉化成為16進制數。

7．將新數據列中的第7個數97與右邊相鄰的數49進行比較，因為49<97，97應下沉，所以順序改變，得到新的數據列：

{38，49，65， 76， 13，97， 49，27}

我們把上述過程稱為一趟排序。其基本特征是最大的數據沉到底，即排在最左邊位置上的數據是數組中最大的數據。反復執行上面的步驟，就能完成排序工作，排序過程不會超過7趟。這種排序的方法稱為冒泡排序。

上面的分析具有一般性，如果數據列有n個數據組成，至多經過n－1趟排序，就能完成整個排序過程。

6．將新數據列中的第6個數97與右邊相鄰的數27進行比較，因為27<97，97應下沉，所以順序改變，得到新的數據列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

5．將新數據列中的第5個數97與右邊相鄰的數13進行比較，因為13<97，97應下沉，所以順序改變，得到新的數據列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

4．將新數據列中的第4個數97與右邊相鄰的數76進行比較，因為76<97，97應下沉，所以順序不變，得到新的數據列：

{38，49，65， 76，97，13，27，49}

3．將新數據列中的第3個數65與右邊相鄰的數97進行比較，因為97>65，所以順序不變，得到新的數據列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

2．將新數據列中的第2個數49與右邊相鄰的數65進行比較，因為65>49，所以順序不變，得到新的數據列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

1．將第1個數與右邊相鄰的數38進行比較，因為38<49，49應下沉，即向右移動，所以交換他們的位置，得到新的數據列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}