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題型1:求最大公約數例1．(1)用輾轉相除法求123和48的最大公約數? (2)用更相減損來求80和36的最大公約數? 解析:(1)輾轉相除法求最大公約數的過程如下: 123＝2×48+27 48＝1×27+21 27＝1×21+6 21＝3×6+3 6＝2×3+0 最后6能被3整除.得123和48的最大公約數為3. (2)分析:我們將80作為大數.36作為小數.執行更相減損術來求兩數的最大公約數.執行結束的準則是減數和差相等. 更相減損術: 因為80和36都是偶數.要去公因數2. 80÷2=40.36÷2=18, 40和18都是偶數.要去公因數2. 40÷2=20.18÷2=9 下面來求20與9的最大公約數. 20-9=11 11-9=2 9-2=7 7-2=5 5-2=3 3-2=1 2-1=1 可得80和36的最大公約數為22×1=4. 點評:對比兩種方法控制好算法的結束.輾轉相除法是到達余數為0.更相減損術是到達減數和差相等. 例2．設計一個算法.求出840與1764的最大公因數. 解析:我們已經學習過了對自然數的素因數分解的方法.下面的算法就是在此基礎上設計的. 解題思路如下: 首先對兩個數進行素因數分解: 840=23×3×5×7.1764=22×32×72. 其次.確定兩個數的公共素因數:2.3.7. 接著確定公共素因數的指數:對于公共素因數2.840中為23.1764中為22.應取較少的一個22.同理可得下面的因數為3和7. 算法步驟: 第一步:將840進行素數分解23×3×5×7, 第二步:將1764進行素數分解22×32×72, 第三步:確定它們的公共素因數:2.3.7, 第四步:確定公共素因數2.3.7的指數分別是:2.1.1, 第五步:最大公因數為22×31×71=84. 點評:質數是除1以外只能被1和本身整除的正整數.它應該是無限多個.但是目前沒有一個規律來確定所有的質數. 題型2:秦九韶算法例3．已知n次多項式.如果在一種算法中.計算(k＝2.3.4.-.n)的值需要k-1次乘法.計算的值共需要9次運算.那么計算的值共需要次運算.下面給出一種減少運算次數的算法:(k＝0. 1.2.-.n-1)．利用該算法.計算的值共需要6次運算.計算的值共需要次運算. 答案:65,20. 點評:秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+-.+a1x+a0的求值問題.直接法乘法運算的次數最多可到達.加法最多n次.秦九韶算法通過轉化把乘法運算的次數減少到最多n次.加法最多n次. 例4．已知多項式函數f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7.求當x=5時的函數的值. 解析:把多項式變形為:f(x)= 2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =x+7 計算的過程可以列表表示為: 多項式x系數 2 -5 -4 3 -6 7 運算運算所得的值 10 25 105 540 2670 + 變形后x的"系數" 2 5 21 108 534 2677 *5 最后的系數2677即為所求的值. 算法過程: v0=2 v1=2×5-5=5 v2=5×5-4=21 v3=21×5+3=108 v4=108×5-6=534 v5=534×5+7=2677 點評:如果多項式函數中有缺項的話.要以系數為0的項補齊后再計算. 題型三:排序例4．試用兩種排序方法將以下8個數:7,1,3,12,8,4,9,10.按照從大到小的順序進行排序. 解析:可以按照直接插入排序和冒泡排序這兩種方法的要求.結合圖形.分析寫出. 直接插入法排序:7] 1 3 12 8 4 9 10 [7 1] 3 12 8 4 9 10 [7 3 1] 12 8 4 9 10 [12 7 3 1] 8 4 9 10 [12 8 7 3 1] 4 9 10 [12 8 7 4 3 1] 9 10 [12 9 8 7 4 3 1] 10 [12 10 9 8 7 4 3 1] 冒泡排序 7 7 7 7 7 7 7 7 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1 12 12 12 12 12 12 12 12 1 8 8 8 8 8 8 8 8 1 4 4 4 4 4 4 4 4 1 9 9 9 9 9 9 9 9 1 10 10 10 10 10 10 10 10 第一趟 7 7 12 12 12 12 3 12 8 8 9 10 12 8 7 9 10 9 8 4 9 10 8 8 4 9 10 7 7 7 9 10 4 4 4 4 10 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 第2趟第3趟第4趟第5趟第6趟點評:直接插入法和冒泡法排序是常見的排序方法.通過該例.我們對比可以發現.直接插入排序比冒泡排序更有效一些.執行的操作步驟更少一些. 例6．給出以下四個數:6.-3.0.15.用直接插入法排序將它們按從小到大的順序排列.用冒泡法將它們按從大到小的順序排列. 分析:不論從大到小的順序還是按從大到小的順序.都可按兩種方法的步驟進行排序. 解析: 直接插入排序法: 【查看更多】

17、（I）用輾轉相除法求840與1 764的最大公約數．
（II）用更相減損術求440 與556的最大公約．

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（Ⅰ）用輾轉相除法求840與1 764的最大公約數；
（Ⅱ）用更相減損術求440 與556的最大公約數；
（Ⅲ）用秦九韶算法求多項式f（x）=7x⁷+6x⁶+5x⁵+4x⁴+3x³+2x²+x當x=3時的值．

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（1）用輾轉相除法求840與1 764的最大公約數．
（2）把“五進制”數1234_（5）轉化為“十進制”數，再把它轉化為“八進制”數．

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(1) 用輾轉相除法求840與1 764的最大公約數.
(2)把“五進制”數轉化為“十進制”數，再把它轉化為“八進制”數。

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設計一個算法，求840與1 764的最大公約數.

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